特训05 期中解答压轴题（第1-4章，期中试题精选）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版 ）

特训05 期中解答压轴题（第1-4章，期中试题精选） 一、解答题 1．（2020秋·四川成都·八年级石室锦城外国语学校校考期中）已知三边长，． （1）如图1，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，________，点的坐标________，点的坐标________． （2）如图2，过点作交于点，，请证明． （3）如图3，当点，分布在点异侧时，则（3）中的结论还成立吗？ 2．（2019秋·四川·八年级校考期中）发现：如图1，点为线段外一动点，且．          （1）填空：当点位于 上时，线段的长取得最小值，且最小值为 （用含的式子表示） （2）应用：如图2，点为线段外一动点，且，分别以为边，作等腰直角和等腰直角，连接． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②直接写出长的最小值． （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，请直接写出长的最小值及此时点的坐标． 3．（2022春·福建厦门·八年级厦门双十中学思明分校校考期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若是“近直角三角形”，，则 度； （2）如图，在中，．边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”，若存在，求出所有点的位置；若不存在，请说明理由． 4．（2023春·福建龙岩·八年级统考期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形　 　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为　 　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 5．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【拓展应用】①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积 ． 6．（2022秋·福建泉州·八年级晋江市季延中学校考期中）已知材料1：三个内角相等的三角形为等边三角形． 材料2：在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边． 结合上述材料，解决下面的问题 如图（1），，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与的大小关系是_____；的度数是_____． (2)若点的运动时间，当时， ①设点Q的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②如图（2）延长与交于点，连结，为的角平分线，点为与的交点，点在运动的过程中，求证：． 7．（2020秋·四川成都·八年级校考期中）已知，在等腰直角中，，，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角，其中，，边AB与D交于点F，点G是BC上一点． （1）如图1，若，连接． ①若，，求的长． ②求证：． （2）如图2，若，交的延长线于点，连接，请猜想线段，，的之间数量关系，并证明． （3）在（2）的条件下，，，，点H为线段AC上一点，一动点M从点G出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，再以每秒个单位的速度延折线H－A－P运动到P点后停止，求点M在整个运动过程中用时最少为多少秒？ 8．（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 9．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算； ； 根据以上信息，完成