第六章微专题4 水平、竖直圆周运动的临界问题 -【优化探究】2023-2024学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套教参（人教版，多选）

微专题4　水平、竖直圆周运动的临界问题 授课提示：对应学生用书第57页 　水平面内的圆周运动的临界问题 1．摩擦力有关的临界问题 (1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Ff＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心)。 2．与弹力有关的临界问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 3．解决圆周运动临界问题的一般思路 (1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。 (2)分析该状态下物体的受力特点。 (3)结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解。 　如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？ [解析]　两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。 (1)BC恰好拉直，但FT2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有 Fx＝FT1sin 30°＝mω12L sin 30° Fy＝FT1cos 30°－mg＝0 联立解得ω1≈2.40 rad/s。 (2)AC由拉紧转为恰好拉直，则FT1已为零，设此时的角速度为ω2，则有 Fx＝FT2sin 45°＝mω22L sin 30° Fy＝FT2cos 45°－mg＝0 联立解得ω2≈3.16 rad/s。 可见，要使两绳始终伸直，ω必须满足 2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。 [答案]　2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 名师点评 处理水平面内圆周运动临界问题时的两点注意 1．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。 2．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。　 　1.(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴OO′的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，则下列说法正确的是(　　) A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg 解析：a与b所受的最大静摩擦力相等，而b需要的向心力较大，所以b先滑动，A正确；在未滑动之前，a、b各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力，B错误；b处于临界状态时kmg＝mω2·2l，解得ω＝ ，C正确；ω＝ 小于a的临界角速度 ，a所受摩擦力没有达到最大值，D错误。 答案：AC 2．如图所示，一根长为l＝1 m的细线一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示) (1)若要使小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ 解析：(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力沿水平方向，受力分析如图所示。由牛顿第二定律及向心力公式得mg tan θ＝mω02l sin θ 解得ω0＝ ＝ rad/s。 (2)同理，当细线与竖直方向成α＝60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mg tan α＝mω2l sin α，解得ω′＝ ＝2 rad/s。 答案：(1) rad/s　(2)2 rad/s 　竖直面内圆周运动的轻绳模型 1．模型概述 无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。 2．模型特点 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋F＝m 临界特征 F＝0，mg＝m，得v＝ v＝的意义 物体能否过最高点的临界点 　杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动，如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳子总长l＝120 cm，g取10 m/s2