第五章5.2.1基本初等函数的导数-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 [学习目标]　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．　2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 授课提示：对应学生用书第53页 预习教材，思考问题 问题1　利用定义求函数y＝f(x)的导数的步骤是什么？ 问题2　如何利用定义求函数y＝f(x)＝x的导数？若y＝x表示位移关于时间的函数，则y′＝1的物理意义是什么？ 问题3　如何利用定义求函数y＝f(x)＝x2的导数？若y＝x2表示位移关于时间的函数，则y′＝2x 的物理意义是什么？　　　 [预习自测] 1．已知f(x)＝，则f′(8)等于(　　) A.0　　　　　　　　 B．2 C. D．－1 解析：由f(x)＝，得f′(x)＝x－， ∴f′(8)＝×8－＝. 答案：C 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A.若y＝3，则y′＝0 B.若y＝，则y′＝－ C.若y＝x8，则y′＝8x7 D.若y＝x，则y′＝1 解析：只有B是错误的． 因为y′＝′＝′＝－x－＝－. 答案：ACD 3．已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝，则x0＝________． 解析：因为f(x)＝ln x(x>0)， 所以f′(x)＝， 所以f′(x0)＝＝， 所以x0＝1. 答案：1 4．曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________________． 解析：∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3，3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)， 即x＋y－6＝0. 答案：x＋y－6＝0 授课提示：对应学生用书第54页 　基本初等函数的导数公式 1．几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα-1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝x0； (2)y＝； (3)y＝lg x； (4)y＝； (5)y＝2cos2－1. 分析：以上题目为基本初等函数求导，首先判断所属类型，再根据基本初等函数的导数公式求解即可． [解]　(1)y′＝0. (2)y′＝ ln ＝－ ln 3. (3)y′＝. (4)∵y＝＝x， ∴y′＝′＝x＝. (5)∵y＝2cos2－1＝cosx， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x． 　1.求基本初等函数的导数有两种方法，一是利用导数的定义求导，但运算比较麻烦；二是若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导，这样可以简化运算，避免运算出错． 2．若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y＝可以写成y＝x-4，y＝可以写成y＝x等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”(a>0，且a≠1)，“sin x与cos x”的导数区别． 　1.求下列函数的导数： (1)y＝2 023； (2)y＝； (3)y＝2sin cos ； (4)y＝4x； (5)y＝log3x. 解：(1)因为y＝2 023， 所以y′＝(2 023)′＝0. (2)因为y＝＝x－， 所以y′＝－x－-1＝－x－. (3)y′＝′＝(sin x)′＝cos x． (4)因为y＝4x，所以y′＝4xln 4. (5)因为y＝log3x，所以y′＝. 　利用导数公式研究曲线的切线方程 1．若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． 2．若已知点不是切点，则应先设出切点，再写出切线方程代入已知点求解． [例2]　已知曲线y＝，求： (1)曲线在点P(1，1)处的切线方程； (2)过点Q(1，0)且与曲线相切的切线方程． 分析：(1)本题为求解曲线在某一点处的切线方程，通过求导可以得到切线的斜率，再借助点斜式求出切线方程．(2)本题为求解曲线过已知点与曲线相切的切线方程，要先设出切点坐标并求出，再解决问题． [解]　因为y＝，所以y′＝－. (1)因为点P(1，1)是曲线上的点，所以