第五章5.1.2导数的概念及其几何意义-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．1.2　导数的概念及其几何意义 [学习目标]　1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．　2.了解导数的概念，体会导数的内涵与思想，理解导数的几何意义． 授课提示：对应学生用书第49页 预习教材，思考问题 问题1　前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率．这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了什么样的思想方法？ 问题2　我们知道，导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，那么导数f′(x0)的几何意义是什么？　　　 问题3　观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？ 问题4　瞬时变化率f′(x0)＝ ＝ 表示什么？ [预习自测] 1．如果质点按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　) A.6　　　 B．18　　　　 C．54　　　　 D．81 解析：v＝ ＝ ＝ (3Δt＋18)＝18. 答案：B 2．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝(　　) A.－3 B．－1 C．3 D．1 解析：由导数的几何意义知，在点(2，1)处的切线斜率为y′|x＝2，又切线与3x－y－2＝0平行，∴y′|x＝2＝3. 答案：C 3．已知函数y＝x＋3，当x＝1时，＝________． 解析：＝＝1. 答案：1 4．已知函数f(x)＝x＋，当自变量x由1变到1＋Δx时，函数的平均变化率为________；函数在x＝1处的导数为________． 解析：当自变量x由1变到1＋Δx时，函数的平均变化率为 ＝＝1－. 函数在x＝1处的导数为 y′|x＝1＝ ＝ ＝0. 答案：1－　0 授课提示：对应学生用书第49页 　导数的概念 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝_＝_． 从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝_． [例1]　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).计算第3 h与第7 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 分析：首先需要明确导数是瞬时变化率的数学表达，从而将问题转化为求原油的温度函数在某些点处的导数；然后利用导数的定义求原油的温度函数在这些点处的导数，意在进一步强化用导数的概念求函数的导数的具体操作步骤，进一步体会导数概念中蕴含的极限思想；最后利用计算结果解释瞬时变化率的意义，进一步认识导数的内涵，即导数反映了函数在某一点附近的变化情况． [解]　在第3 h和第7 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(3)和f′(7). 根据导数的定义，可得＝＝ ＝＝Δx－1， 则f′(3)＝ ＝ (Δx－1)＝－1； 同理可得，f′(7)＝7. 在第3 h与第7 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－1 ℃/h与7 ℃/h.说明在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃/h的速率下降；在第7 h附近，原油温度大约以每7 ℃/h的速率上升． 　1.对于这类涉及导数的概念问题，要严格把握导数的概念：f′(x0)＝ ＝ ，注意观察分子与分母处的Δx的系数是否一致，否则就要调整系数． 2．熟记瞬时变化率(即导数)的几种变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0). 　1.求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 解：f′(1)＝ ＝ ＝ ＝ ＝ (3Δx＋6)＝6. 　导数概念的灵活应用 　f′(x0)＝ ＝_． [例2]　已知函数y＝f(x)，f′(5)＝－1，则 ＝(　　) A.－　　　　　　　 B．2 C.－1 D．－2 分析：利用导数的概念，进行变形解出即可． [解析]　∵f′(5)＝－1，∴ ＝－1. 又∵ ＝ ＝－1， ∴ ＝ 2 ＝－2， 即 ＝－2. [答案]　D 　对导数的概念f′(x0)＝ ＝ 要理解其本质，注意变形的应用． 　2.对于函数f(x)，