第五章5.1.1变化率问题-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想．从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这些都是朴素的也是很典型的极限概念． 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素．十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作． 现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的．微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力． 1．要树立定义域优先的原则．在研究导数问题时，一定要考虑定义域，若能求出，则先求出，并时刻注意函数要在定义域中研究． 2．要准确熟练地对函数进行求导．正确求出已知函数的导数，是解决导数问题的基础，要强化练习． 3．注重分类讨论思想的应用．导数问题中涉及分类的题目较多，如何进行分类，分类的标准是什么，一定要搞清楚． 5.1　导数的概念及其意义 5．1.1　变化率问题 [学习目标]　1.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法．　2.通过求抛物线在某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法．　3.理解函数的平均变化率的概念． 授课提示：对应学生用书第47页 预习教材，思考问题 问题1　在一次高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 问题2　瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用问题1中的函数关系求运动员在t＝1 s时的瞬时速度吗？ 问题3　你认为应该如何定义抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线？ 问题4　我们知道，斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率k0呢？　　　 [预习自测] 1．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为(　　) A.3Δt＋6　　　　　 B．－3Δt＋6 C.3Δt－6 D．－3Δt－6 解析：平均速度为＝＝－3Δt－6. 答案：D 2．抛物线y＝2x2在点P(1，2)处切线的斜率为(　　) A.4 B．2 C.3 D．1 解析：k＝ ＝ (2Δx＋4)＝4. 答案：A 3．已知自由落体的运动方程为s＝gt2(s的单位：m，t的单位：s，g的单位：m/s2，g为常数)，则落体从t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度＝____________；落体从t0＝10 s到t＝10.1 s这段时间内的平均速度＝____________m/s. 解析：当时间从t0到t0＋Δt的改变量为Δt时， 落体的平均速度为＝＝＝g. 当t0＝10 s，Δt＝0.1 s时， 落体的平均速度 ＝g＝10.05g(m/s). 答案：g　10.05g 4．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是__________． 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，.结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 答案：[x3，x4] 授课提示：对应学生用书第47页 　平均速度与瞬时速度 1．物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．平均速度与瞬时速度的关系： v＝_＝． [例1]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示． 求：(1)物体在1 s≤t≤2 s时的平均速度； (2)物体在t＝1 s时的瞬时速度． 分析： 计算 ―→ (1)代入平均速度公式＝求解． (2)代入瞬时速度公式v＝ 求解． [解]　(1)＝＝＝4 m/s，即物体在1 s≤t≤2 s时的平均速度为4 m/s. (2)∵＝ ＝＝3＋Δt， ∴ ＝ (3＋Δt)＝3， 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 　1.平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况，是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值． 2．求物体运动的瞬时速度的步骤： (1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求时间t0到t0