第四章4.1第2课时数列的通项公式、递推公式与数列的前n项和-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第2课时　数列的通项公式、递推公式与数列的前n项和 [学习目标]　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．　2.会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式． 授课提示：对应学生用书第6页 预习教材，思考问题 问题1　什么是数列的通项公式？什么是数列的递推公式？ 问题2　什么是数列{an}的前n项和？ 问题3　已知数列{an}的前n项和Sn，如何求其通项公式？　　　 [预习自测] 1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　) A.15　　　　　　　 B．255 C.16 D．63 解析：由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255. 答案：B 2．数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是(　　) A.an＋1＝2an B.an＋1＝－2an C.an＋1＝an D.an＋1＝－an 答案：D 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为________． 解析：由已知a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 答案：8 4．根据下图中的五个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有________个点． 解析：观察题图中5个图形点的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，故第n个图中点的个数为(n－1)×n＋1＝n2－n＋1. 答案：n2－n＋1 授课提示：对应学生用书第6页 　利用归纳法求数列的通项公式 根据给定数列的某些特征(图形、式子)，求出数列的前几项，再归纳出通项公式． [例1]　如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，从第一个图开始，图中化学键的个数依次构成一个数列{an}，则这个数列的一个通项公式为__________． 分析：仔细观察图形特点，写出数列前几项，再归纳规律． [解析]　由题中图形，知各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键(或6＋0×5，6＋1×5，6＋2×5，…，6＋(n－1)×5)，因此这个数列的一个通项公式是an＝5n＋1. [答案]　an＝5n＋1 　通过观察图形或者已给式子特点，从而归纳出数列的通项公式，是求数列通项公式的一种重要方法，需要熟练掌握． 　1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的一个通项公式． 解：(1)a1＝1，a2＝a1＝， a3＝a2＝×＝， a4＝a3＝×＝， a5＝a4＝×＝. (2)由(1)知数列的一个通项公式为an＝(n∈N*). 　数列的递推公式 　如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． [例2]　(1)已知数列{an}的首项为a1＝1，递推公式为an＝1＋(n≥2)，则这个数列的第5项为________． (2)若数列{an}满足an＋1＝2an－1，且a8＝16，则a6＝________． 分析：(1)在递推公式中分别令n＝2，3，4，5计算求值，即可解决问题．(2)令n＝7.求出a7，再令n＝6，从而求出a6. [解析]　(1)由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝， a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝. (2)∵an＋1＝2an－1，∴a8＝2a7－1＝16，解得a7＝. 又a7＝2a6－1＝，解得a6＝. [答案]　(1)　(2) 　由递推公式写出数列的项的方法 1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． 2．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． 3．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 　2.(1)已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________． (2)已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 024＝________． 解析：(1)法一：把前8项依次算出，可以求解． 法二：a1a2…a8＝82，① a1a2…a9＝92，② ②÷①得a9＝＝. (2)计算得a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝，a4＝2a3＝. 故数列{an}是以3为周期的周期数列， 又因为2 024＝674×3＋2，所以a2 024＝a2＝. 答案：(1)　(2) 　数列{an}的前n项和Sn 1．数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．如果数列