第四章4.4数学归纳法-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

4．4*　数学归纳法 [学习目标]　1.掌握数学归纳法的基本思想和利用数学归纳法证明的基本步骤．　2.能够利用数学归纳法证明等式、不等式等有关问题． 授课提示：对应学生用书第33页 预习教材，思考问题 问题1　用数学归纳法进行证明有关命题时，要分几个步骤？ 问题2　用数学归纳法，推证n＝k＋1时一定需要用n＝k时的假设吗？　　　 [预习自测] 1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　) A．1　　　　　　　　 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 解析：当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4. 答案：D 2．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝(　　) A．ak＋ B．ak＋－ C．ak＋ D．ak＋－ 解析：a1＝1－，a2＝1－＋－，…， an＝1－＋－＋…＋－， ak＝1－＋－＋…＋－， 所以ak＋1＝ak＋－. 答案：D 3．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立． 答案：2 4．观察下列不等式：1>，1＋＋>1，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为__________________(n∈N*). 答案：1＋＋＋…＋> 授课提示：对应学生用书第33页 　数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1．归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； 2．归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法． [例1]　下面四个判断中，正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn-1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k C.式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋ D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ 分析：利用数学归纳法定义，代入验证即可． [解析]　A中，n＝1时，式子＝1＋k； B中，n＝1时，式子＝1； C中，n＝1时，式子＝1＋＋； D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C. [答案]　C 　数学归纳法的框图表示 　1.已知Sn＝＋＋＋…＋，n∈N*，则S1＝______，S2＝______，S3＝______，S4＝________，猜想Sn＝________． 解析：当n＝1时，S1＝； 当n＝2时，S2＝； 当n＝3时，S3＝； 当n＝4时，S4＝. 观察猜想得Sn＝. 答案：　　　　 　用数学归纳法证明等式 1．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 2．数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．完成这两步，就有P(n0)真，P(n0＋1)真，……，P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． [例2]　用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________． [解析]　令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则 f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)， f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1). [答案]　2(2k＋1) [例3]　用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝(n∈N*). 分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是“n＝k时等式成立”为条件，得出“当n＝k＋1时，等式也成立”的命题，证明时必须用到上述条件． [证明]　①当n＝1时，＝成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋ ＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立． 　用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： 1．n＝n0时，等式的结构． 2．n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： (1)代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． (