第二章2.2.2直线的两点式方程-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

2．2.2　直线的两点式方程 [学习目标]　1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围．　2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围． 授课提示：对应学生用书第58页 预习教材，思考问题 问题1　两点式方程与P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的顺序有关吗？ 问题2　两点式能否表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线？ 问题3　截距式方程适用的条件是什么？　　　 [预习自测] 1．经过两点(5，0)，(2，－3)的直线的两点式方程为(　　) A．＝　　 B．＝ C．＝ D．＝ 解析：由两点式方程得＝. 答案：C 2．在x轴和y轴上的截距分别为－4和5的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：由截距式方程得＋＝1. 答案：C 3．已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为__________． 解析：由题意知，直线l过点(－5，0)，(3，－3)，所以l的斜率为＝－. 答案：－ 4．直线＋＝1在x轴上的截距为__________． 解析：因为＋＝1是直线的截距式方程，所以直线在x轴上的截距为2. 答案：2 授课提示：对应学生用书第59页 　直线的两点式方程 当x1≠x2时，经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝.任取P1，P2中的一点，例如，取点P1(x1，y1)，由直线的点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)， 当y2≠y1时，上式可写为＝. 这就是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． [例1]　(1)已知直线l经过两点P1(1，2)，P2(3，5)，求直线l的方程； (2)直线l在y轴上的截距是－3，且经过点(－2，1)，求直线l的方程． 分析：直线经过两点，由两点式方程可以写出直线的方程． [解]　(1)直线l的方程为＝， 即y－2＝(x－1)，3x－2y＋1＝0. (2)直线l的方程为＝，即2x＋y＋3＝0. 　1.已知直线上两点的坐标求直线方程，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得．代入点的坐标时要注意横、纵坐标的对应关系． 2．在用两点式求直线的方程时，往往把分式形式＝(x1≠x2，y1≠y2)通过交叉相乘转化为整式形式(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1)，在得到的方程中，包含了x1＝x2或y1＝y2的情况，故此转化过程不是一个等价的转化过程，不能忽略由x1，x2和y1，y2是否相等引起的讨论．若要避免讨论，则可以直接设成两点式的整式形式． 　1.△ABC的三个顶点分别为A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形的三边及AB边上的中线所在直线的方程． 解：直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，由两点式得＝，整理得3x＋8y＋15＝0，这就是AB边所在直线的方程．直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点，由两点式得＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程．直线BC过B(3，－3)，C(0，2)两点，斜率k＝＝－，由点斜式得y－2＝－(x－0)，整理得5x＋3y－6＝0，这就是BC边所在直线的方程． 因为A(－5，0)，B(3，－3)，所以AB边的中点M的坐标为，即M，于是AB边上的中线所在直线的方程即为MC所在直线的方程． 由直线的两点式方程得＝， 即＝， 所以y－2＝x，即7x－2y＋4＝0. 　直线的截距式方程 我们把直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，此时直线l在y轴上的截距是b.方程＋＝1由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定，我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式． [例2]　已知直线l经过点P(4，3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 分析：设出截距式方程，将已知点的坐标代入，求出字母系数的值．勿忘讨论截距为零的情况． [解]　法一：当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0. 设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，又因为l过点P(4，3)， 所以3＝4k，故k＝，所以直线l的方程为y＝x. 当直线l不过原点时，设直线的截距式方程为＋＝1(a≠0)， 又因为直线过点P(4，3)，所以＋＝1，所以a＝7， 所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y＝7. 综上，直线l的方程为3x－4y＝0或x＋y－7＝0. 法二：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的斜率为k(k≠0)，则有y－3＝k(x－4). 令x＝0，得y＝3－4k；令y＝0，得x＝4－. 由直线l在两坐标轴上的截距相等，得3－4k＝4－， 解得k＝－1或k＝， 所以直线l的方程为y－3＝－(x－4)或y－3＝(x－4)， 即直线l的方程为x＋y－7＝0或3