第一章1.4.2第一课时距离问题-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时　距离问题 [学习目标]　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题．　 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用. 授课提示：对应学生用书第36页 预习教材，思考问题 问题1　空间点到直线、点到平面的距离的向量计算公式是什么？ 问题2　相互平行的直线、平面间的距离可分别转化为什么距离求解？ 问题3　用向量解决空间线面距离问题的一般步骤是什么？　　　 [预习自测] 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A．10　　　　　　 B．3 C． D． 解析：由已知得＝(1，2，－4)， 故点P到平面α的距离d＝＝＝. 答案：D 2．已知直线m过点O(0，0，0)，其方向向量是a＝(1，1，1)，则点Q(3，4，5)到直线m的距离是(　　) A．1 B． C． D．2 解析：m的方向向量a＝(1，1，1)，＝(3，4，5)， ∴由点线距离公式，得d＝＝＝. 答案：B 3．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1).已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d＝__________． 解析：点P到平面OAB的距离d＝ ＝＝＝2. 答案：2 4．已知直线l的方向向量为a＝(1，0，1)，点A(1，2，－1)在l上，则点P(3，1，1)到l的距离为__________． 解析：根据题意，得＝(－2，1，－2), a＝(1，0，1), ∴cos 〈a，〉＝＝－， ∴sin 〈a，〉＝. 又∵||＝3, ∴点P(3，1，1)到直线l的距离为 ||sin 〈a，〉＝3×＝1. 答案：1 授课提示：对应学生用书第37页 　点到直线的距离 1．如图，直线l的单位方向向量为u，点A是l上的定点，点P是l外一点．设＝a，则点P到直线l的距离为． 2．两条平行直线间的距离可转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即点线距． [例1]　已知点A(0，1，－1)，B(2，2，1)，向量a＝，b＝，求点B到直线OA的距离． 分析：本题考查空间向量坐标的基本计算，向量夹角、点线距离的坐标计算，注意空间向量的坐标计算以及距离的算法．根据题意，求出在上的投影向量的长度，进而计算可得答案． [解]　由已知得：a＝(0，1，－1)，b＝(2，2，1)， 则||＝|b|＝＝3， 则cos 〈a，b〉＝＝. 在上的投影向量的长度为||cos 〈a，b〉， ||cos 〈a，b〉＝3×＝， 点B到直线OA的距离d＝＝. 　1.用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量u； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a； (4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离． 2．用向量法求点到直线的距离时需注意：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较容易求得坐标的特殊点；(3)直线的方向向量可以任取． 　1.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，1)，E，O， ∴＝，＝. 取a＝＝，u＝＝， ∴a2＝，a·u＝， ∴点O到直线A1E的距离为＝. 　点到平面的距离 1．平面α的法向量为n，点A是α内的定点，点P是α外一点．设＝a，则点P到平面α的距离为． 2．与平面平行的直线与平面间的距离可转化为直线上一点到平面的距离，即点面距． 3．两个平行平面间的距离可转化为一个平面上一点到另一个平面的距离，即点面距． [例2]　如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，求点D1到平面AEC1的距离． 分析：本题主要考查利用空间向量求点、线、面之间的距离．建立空间直角坐标系，写出各点坐标，分别表示出，，从而计算平面AEC1的一个法向量n，由点到平面间距离公式即可求解． [解]　建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，E， ＝，＝(－1，1，1). 设平面AEC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有⇒ 令y＝2，则x＝1，z＝－1， ∴n＝(1，2，－1). 又＝(1，0，－1)， ∴点D1到平面AEC1的距离d＝＝＝. 　求点到平面距离的主要方法 1．几何法：作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． 2．等体积法：在三棱锥中用等体积法求解． 3．向量法： d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段). 　2.如图，在棱长为1的正