第一章1.4.2第二课时夹角问题-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　夹角问题 [学习目标]　1.能用向量方法解决两条异面直线、直线和平面、两个平面的夹角和二面角的问题．　2.体会向量方法在研究几何问题中的作用． 授课提示：对应学生用书第39页 预习教材，思考问题 问题1　两条异面直线、直线和平面、两个平面的夹角的向量计算公式分别是什么？ 问题2　直线和平面的夹角与直线方向向量、平面法向量的夹角有什么关系？ 问题3　两个平面的夹角和二面角有什么区别？ 问题4　用向量解决空间线面夹角问题的一般步骤是什么？　　　 [预习自测] 1．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为(　　) A．1　　　　　　　　 B． C． D． 解析：设l1，l2所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝＝＝. 答案：D 2．已知二面角α­l­β，其中平面α的一个法向量m＝(1，0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1，1)，则二面角α­l­β的大小可能为(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．135° 解析：设m与n的夹角为θ， ∵m＝(1，0，－1)，n＝(0，－1，1)， ∴cos θ＝＝＝－. ∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝120°， ∴二面角α­l­β的大小可能为60°或120°. 答案：C 3．已知A∈α，P∉α，＝，平面α的一个法向量为n＝，则直线PA与平面α所成的角为________． 解析：设直线PA与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝. ∵0°≤θ≤90°，∴θ＝60°. 答案：60° 授课提示：对应学生用书第39页 　两条异面直线所成的角 　利用向量方法求两条异面直线所成的角：设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝． [例1]　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A和B1B的中点，求CM和D1N所成角的余弦值． 分析：本题主要考查空间直角坐标系的相关坐标运算．先建立空间直角坐标系，分别求相关点的坐标，再求相关向量的坐标，最后结合空间直角坐标系中异面直线的夹角公式求解即可． [解]　以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 不妨设正方体的棱长为2， 则C(0，2，0)，D1(0，0，2)，M(2，0，1)，N(2，2，1)， ＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1). 设CM和D1N所成的角为α， 所以|cos α|＝＝. 即CM和D1N所成角的余弦值为. 　1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系． (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标． (3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角． (4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 2．求两条异面直线所成的角的关注点 (1)余弦值非负：两条异面直线所成的角的余弦值一定非负，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． (2)范围：两条异面直线所成的角的范围是，故两条异面直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 　1.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝60°，则异面直线BA1和AC1所成角的余弦值为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：因为AB＝AC，∠BAC＝60°，所以△ABC是等边三角形，取AC的中点D，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB＝2，则B(，0，0)，A(0，－1，0)，A1(0，－1，2)，C1(0，1，2)， 所以＝(－，－1，2)，＝(0，2，2)，所以||＝2，||＝2，·＝2，所以异面直线BA1和AC1所成角的余弦值cos 〈，〉＝＝＝. 答案：C 　直线与平面所成的角 利用向量方法求直线与平面所成的角：直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝． [例2]　如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC＝AB＝4，AA1＝6，点E，F分别为CA1与AB的中点．求B1F与平面AEF所成角的正弦值． 分析：本题考查了利用空间向量求线面所成的角． [解]　以A1为原点建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz， 则A(0，0，6)，B1(0，4，0)，E(2，0，3)，F(0，2，6)， 所以＝(0，－2，6)，＝(2，0，－3)，＝(0，2，0). 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝3，得n＝(3，0，2).记B1F与平面AEF所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝. 　利