第一章1.4.1第一课时空间中点、直线和平面的向量表示-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学习目标]　1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求一个平面的法向量．　2.理解空间直线、平面的向量表达式. 授课提示：对应学生用书第27页 预习教材，思考问题 问题1　空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？ 问题2　空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？ 问题3　空间直线和平面的向量表达式分别是什么？其依据是什么？ 问题4　求一个平面的法向量的一般步骤是什么？　　　 [预习自测] 1．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(3，2，1)　　　　　　 B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(1，2，3) 解析：＝(2，5，8)－(0，1，2)＝(2，4，6). 因为(2，4，6)＝2(1，2，3)，所以D选项是正确的． 答案：D 2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(　　) A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1) 解析：∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)， ∴向量(－2，3，－1)与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量． 答案：D 3．给定下列命题：(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；(2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线的方向向量；(3)在空间直角坐标系中，a＝(0，0，1)是坐标平面Oxy的一个法向量．其中正确命题的序号是________． 解析：(1)直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量，所以(1)正确． (2)λ＝0时，λv＝0不是直线的方向向量，所以(2)不正确． (3)a＝(0，0，1)在z轴所在直线上，且垂直于坐标平面Oxy，所以a是坐标平面Oxy的一个法向量，故(3)正确． 答案：(1)(3) 4．在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1).若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＝__________，z＝__________． 解析：＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2). ∵a＝(－1，y，z)为平面ABC的法向量， 则即 即解得 答案：1　0 授课提示：对应学生用书第27页 　空间中点和直线的向量表示 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O为基点，那么对空间中任意一点P，向量称为点P的位置向量． 2．直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． 3．空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，点P是直线l上的任意一点，点O是空间任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta＝＋t. [例1]　若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3)　　　　　　　 B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 分析：直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量，向量就是直线l的一个方向向量． [解析]　由题意，可得直线l的一个方向向量＝(2，4，6).又＝(2，4，6)＝(1，2，3)，所以向量(1，2，3)是直线l的一个方向向量． [答案]　A [例2]　设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P不一定在直线AB上 D．以上都不对 分析：本题考查空间直线的向量表示式．根据空间直线的向量表示式＝＋t，结合已知条件变形即可求解． [解析]　由m＋n＝1得m＝1－n， 结合题意知＝(1－n)＋n＝＋n(－)， 即＝＋n， 据此可知，A，P，B三点共线，点P一定在直线AB上． [答案]　A 　1.求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点分别为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 2．直线的方向向量不唯一． 3．空间三点共线的条件：对空间中任意一点O，点P与点A，B共线⇔存在实数t，使得＝t⇔存在实数t，使得＝＋t⇔存在实数m，n，且m＋n＝1，使得＝m＋n. 　1.(多选)若点M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) 解析：∵点M，N在直线l上，∴＝(1，1，3)， 故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量． 答案：AB 2．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(5，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量