第一章1.2第一课时空间向量基本定理-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1．2　空间向量基本定理 第一课时　空间向量基本定理 [学习目标]　1.了解空间向量基本定理及其意义．　2.掌握空间向量的分解． 授课提示：对应学生用书第13页 预习教材，思考问题 问题1　类比平面向量基本定理，怎么推广得到空间向量基本定理？ 问题2　空间基底的构成条件是什么？单位正交基底的构成条件是什么？ 问题3　类比平面向量的分解，如何分解空间向量？　　　 [预习自测] 1．在三棱柱ABC­A1B1C1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　) A.，，　　　 B．，， C.，， D．，， 解析：三个不共面的向量可以作为空间向量的一个基底，，，不共面，可作为一个基底． 答案：C 2.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，那么向量用基底{a，b，c}可表示为(　　) A.a＋b＋c B.－a＋b＋c C.a－b＋c D.－a－b＋c 解析：＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c. 答案：B 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝3，点E，F分别在AB，AA1上，且＝，＝.若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝________． 解析：＝＋＋＝＋2＋3＝x＋y＋z， ∴x＝1，y＝2，z＝3，故x＋y－z＝0. 答案：0 4．已知在四面体OABC中，M，N分别是棱OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量，则＝________． 解析：＝－＝(＋)－＝(b＋c－a). 答案：(b＋c－a) 授课提示：对应学生用书第13页 　空间向量基本定理及有关概念 1．定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底与基向量 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． [例1]　已知下列说法： ①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面； ②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线； ③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C.若＝2－2－2，则P，A，B，C四点共面； ④若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底； ⑤若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底． 其中正确说法的个数是(　　) A.0　　　　　　　 B．1 C.2 D．3 分析：根据定理及概念判断． [解析]　①根据空间基底的定义，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面，故正确． ②由空间基底的定义，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线，故正确． ③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C.若＝2－2－2，由于2－2－2＝－2≠1，则P，A，B，C四点不共面，故错误． ④若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则向量c与a，b共面，则{a，b，c}不能构成空间的一个基底，故错误． ⑤利用反证法：若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数x，y，使得a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，整理得(1－y)·a＝(x－1)b＋(x＋y)c，则a，b，c共面．由于{a，b，c}为空间的一个基底，得出矛盾，所以{a＋b，b＋c，c＋a}能构成空间的一个基底，故正确． [答案]　D 　判断基底的基本思路及方法 1．基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． 2．方法： (1)如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； (2)假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 　1.若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成基底的是(　　) A.b－c，b＋c，a B.b＋c，b－2c，3c C.b＋c，2a，a＋b＋c D.b＋c，b－c，2b 解析：对于A，不存在实数λ，μ使b－c＝λ(b＋c)＋μa，所以这三个向量不共面，可以构成基底，故A正确；对于B，b＋c＝b－2c＋3c，即这三个向量共面，故B错误；对于C，a＋b＋c＝b＋c＋×2a，即这三个向量共面，故C错误；对于D，2b＝(b＋c)＋(b－c)，即这三个向量共面，故D错误． 答案：A 　给定基底分解空间向量 1．空