第一章1.2第二课时空间向量基本定理的应用-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　空间向量基本定理的应用 [学习目标]　应用空间向量基本定理解决简单的空间几何体中的平行、垂直、夹角和距离等问题． 授课提示：对应学生用书第16页 预习教材，思考问题 问题1　用向量解决几何问题的一般步骤是什么？ 问题2　用向量求两条异面直线的夹角时，两个向量的夹角与两条异面直线的夹角有何关系？　　　 [预习自测] 1．对空间两个非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若a＋b＝0，则a＝－b，故a∥b，即充分性成立． 若a∥b，则有a＝λb，且λ≠0，故不一定有a＝－b，即必要性不成立． 答案：A 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC1与B1C的位置关系是(　　) A.重合　　　　　　　 B．垂直 C.相交 D．不确定 解析：{，，}构成空间的一个正交基底，＝＋＋，＝－＝－， ∴·＝(＋＋)·(－)＝0，∴⊥，∴AC1⊥B1C. 答案：B 3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点．若D1A1＝2，D1C1＝2，D1D＝3，则B1M的长为__________． 解析：＝＋＝＋(＋)， 2＝＝2＋2＋2＝1＋1＋9＝11， ∴||＝， 即B1M＝. 答案： 4．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，则△ABC1是__________三角形． 解析：·＝·(＋)＝·＋·＝0， ∴⊥， ∴BA⊥AC1， ∴△ABC1是直角三角形． 答案：直角 授课提示：对应学生用书第16页 　利用空间向量基本定理证明平行、垂直 利用向量方法证明线线平行，要把涉及的两条直线所在的方向向量用基向量表示出来，再进行证明． 利用向量方法证明线线垂直，要把涉及的两条直线所在的方向向量用基向量表示出来，再进行证明． [例1]　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 分析：先证向量与共线，再说明不在同一直线上． [证明]　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c， 所以＝，所以∥. 又RS与MN不是同一条直线，所以MN∥RS. [例2]　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1. 分析：用数量积证明与垂直． [证明]　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝(＋) ＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，＝＋＝＋＝a＋b， 所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(|b|2－|a|2)＝0，所以⊥，即EF⊥AB1. 　应用空间向量基本定理证明空间的线线垂直、线线平行的基本思路： 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． 1．若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0. 2．若证明线线平行，只需证明两向量共线． 　1.如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 证明：连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋) ＝[＋(＋)] ＝(a＋b＋c)，＝c－b， ∴·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0， ∴⊥，即OG⊥BC. 　利用空间向量基本定理求夹角、距离 1．公式cos 〈a，b〉＝． 2．|a|＝． [例3]　如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； (2)求BD1与AC所成角的余弦值． 分析：(1)求AC1的长，即求||，先用基向量表示，再利用|a|＝求解． (2)求BD1与AC所成角的余弦值，只需求，所成角的余弦的绝对值即可． [解]　(1)设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以a·b＝b·c＝c·a＝. 因为||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6， 所以||＝，即AC1的长为. (2)因为＝b＋c－a，＝a＋b， 所以||＝，||＝. 又因为·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 所以cos 〈，〉＝＝. 所以AC与BD1所成角的余弦值为. 　1.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 2．求两点间的距离时