第一章1.1.2空间向量的数量积运算-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1．1.2　空间向量的数量积运算 [学习目标]　1.了解空间向量夹角的概念．　2.掌握空间向量数量积的定义、性质和运算律．　3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　4.应用空间向量数量积解决简单空间几何体中的垂直、夹角和距离问题． 授课提示：对应学生用书第9页 预习教材，思考问题 问题1　空间向量的夹角的定义，数量积的定义、性质和运算律与平面向量有区别吗？ 问题2　两向量共线时，其夹角是多少？零向量与任意向量的数量积等于多少？ 问题3　在空间中，向量a向向量b、直线l、平面α的投影分别有什么意义？ 问题4　类比平面向量的数量积，用空间向量的数量积可解决哪几类几何问题？　　　 [预习自测] 1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与　　　　　 B．与 C.与 D．与 解析：由空间向量夹角的定义可知，A选项，〈，〉＝〈，〉＝45°； B选项，〈，〉＝〈，〉＝135°； C选项，〈，〉＝〈，〉＝90°；D选项，〈，〉＝〈，〉＝180°. 答案：A 2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长等于2，则·＝(　　) A.2 B．2 C.4 D．4 解析：||＝||＝2，〈，〉＝60°，∴·＝2×2×＝4. 答案：C 3．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为________． 解析：由题意得a，b，c两两垂直， ∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0. 答案：0 4．已知空间向量a，b，且|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－，则a与b的夹角为________． 解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴cos 〈a，b〉＝＝－， ∴〈a，b〉＝120°. 答案：120° 授课提示：对应学生用书第9页 　空间向量的夹角 1．定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围 对非零向量a，b， 通常规定0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉＝〈b，a〉． 特别地，如图， 当〈a，b〉＝0时，向量a，b同向共线； 当〈a，b〉＝π时，向量a，b反向共线； 当〈a，b〉＝时，向量a，b互相垂直，记作a⊥b. [例1]　在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A.30°　　　　　　 B．60° C.120° D．150° [解析]　由题意，可得＝， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. [答案]　C 　1.由定义知，只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π. 2．对空间任意两个非零向量a，b： (1)〈a，b〉＝〈b，a〉；(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 　1.如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈，〉＝________，〈，〉＝________． 解析：由题意得与方向相同，故〈，〉＝0°.由题意知OO1是正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈，〉＝90°. 答案：0°　90° 　空间向量的数量积 1．定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b． 即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 2．空间向量数量积的运算性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2． (3)cos 〈a，b〉＝． (4)|a·b|≤|a||b|. 3．投影向量 如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos_〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②). 如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 4．数量积的运算律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； a·b＝b·a(交换律)； (a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 注意：(1)两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零． (2)若a·b＝k(k≠0)，则不能得出a＝，即空间向量不能进行除法运算． (3)向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b)