第五章5.4.1正弦函数、余弦函数的图象-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．4　三角函数的图象与性质 5．4.1　正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标]　1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点(画图)法”画正弦函数的图象．　2.会用正弦函数图象作出余弦函数图象，会用“五点(画图)法”画余弦函数的图象．　3.通过三角函数图象的三种画法[描点法、几何法、“五点(画图)法”]，体会用“五点(画图)法”作图给我们的学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数的图象．　4.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题． 授课提示：对应学生用书第153页 预习教材，思考问题 问题1　在[0，2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)? 问题2　根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝sin x，x∈R的图象吗？ 问题3　你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？　　　 [预习自测] 1．函数y＝cos x的图象经过点(　　) A．(，1)　　　　　　 B．(，0) C．(π，0) D．(π，1) 解析：由cos ＝0，知函数y＝cos x的图象经过点(，0). 答案：B 2．函数y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　) 解析：y＝sin (－x)＝－sin x，故函数图象与y＝sin x的图象关于x轴对称． 答案：B 3．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝1的交点有________个． 解析：作函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝1，如图所示，知直线与函数图象有1个交点． 答案：1 4．函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有________个． 解析：作函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－，如图所示，知直线与函数图象有2个交点． 答案：2 授课提示：对应学生用书第153页 　正弦函数图象的几何作图法 利用单位圆，使x0在区间[0，2π]上取足够多的值，画出足够多的点T(x0，sin x0). [例1]　如图，利用几何作图法作出正弦函数图象时，当x0取时，T点坐标为________． 分析：根据正弦函数的定义以及sin ＝得出结论． [解析]　根据正弦函数的定义，点T的纵坐标y0＝sin x0＝sin ＝， ∴T(，). [答案]　(，) 　几何作图法是利用单位圆和三角函数定义取足够多的点作图，故解决此类问题时要充分利用图形和正弦函数的定义． 　1.(1)在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A．重合 B．形状相同，位置不同 C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同 (2)点M(，m)在函数y＝sin x的图象上，则m等于________． 解析：(1)根据正弦函数图象的作法过程(或诱导公式一)，可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同． (2)m＝sin ＝－. 答案：(1)B　(2)－ 　“五点(画图)法”作正弦函数图象 用“五点(画图)法”作正弦曲线的一般步骤 (1)先描出(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)这五个点； (2)把这五个点用一条光滑的曲线连接起来，就得到y＝sin x在[0，2π]上的简图； (3)通过左、右平移(每次平移2π个单位长度)，即得到正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象． [例2]　画出函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]的简图． 分析：列表(求点)、描点、连线． [解]　法一：取五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 描点，并用光滑的曲线连接，如图． 法二：可先用“五点(画图)法”画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象(如图中的虚线图)，再将其向下平移1个单位长度，可得函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象． 　“五点(画图)法”作形如y＝a sin x＋b，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： 1．列表：取x＝0，，π，π，2π. 2．描点：将表中所对应的点(x，y)标在平面直角坐标系内． 3．连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来．在连线过程中要注意曲线的“凸性”． 　2.在[0，2π]内用“五点(画图)法”作出y＝－sin x－1的简图． 解：①列表： x 0 π 2π y －1 －2 －1 0 －1 ②描点，并用光滑曲线连接可得其图象如图所示． 　平移正弦曲线法和“五点(画图)法”作余弦函数图象 1