第二章2.7角的和与差（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年七年级上册数学同步教案（冀教版）

第二章 几何图形的初步认识 2.7 角的和与差 教学目标 1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义，并会进行角的和与差运算. 2.了解角平分线，通过折纸活动，进一步理解角平分线的意义. 3.了解两角互余和两角互补的意义，通过探究，了解同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等. 教学重难点 重点：角的和与差、角平分线及其意义，互余、互补的概念及其性质. 难点：两角互余、两角互补的性质. 教学过程 导入新课 （1）角的表示方法有几种？ （2）上节我们学过角的大小比较的方法：度量法和叠合法.那么怎么进行角的和与差运算呢？ 探究新知 探究一：用角的和与差表示第三个角 问题：如图所示，在∠AOB的内部作射线OC，那么∠AOB，∠AOC，∠COB之间有什么关系? （1）∠AOB和∠AOC，∠COB之间是什么关系?（∠AOB＝∠AOC+∠COB） （2）∠AOC和∠AOB，∠COB之间是什么关系?（∠AOC＝∠AOB ∠COB） （3）∠COB和∠AOB，∠AOC之间是什么关系?（∠COB＝∠AOB ∠AOC） 这就是用两个角的和或差表示第三个角. 探究二：角平分线 1.提出问题 如图所示，如果∠AOP＝∠BOP，那么射线OP有什么特点?（射线OP把∠AOB平分为两部分） 2.角平分线的定义 特别地，如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫做这个角的平分线. 如图所示，如果∠AOP＝∠BOP，那么射线OP是∠AOB的平分线.反之，如果射线OP是∠AOB的平分线，那么∠AOP＝∠BOP. 3.折纸作角的平分线 按下列步骤进行操作： （1）如图所示在半透明的纸上画一个角; （2）如图所示折纸，使角的两边重合; （3）如图①所示把纸展开，以点O为端点，沿折痕画射线OP （如图② 所示）. ① ② 射线OP是∠AOB的平分线. 探究三：角平分线的判定和运用 教师：如图所示，如果∠AOC＝∠DOB，那么∠AOD与∠COB相等吗?说明理由. 学生：∠AOD＝∠COB. 理由：因为∠AOC＝∠DOB，所以∠AOC+∠COD＝∠DOB+∠COD，所以∠AOD＝∠COB. 教师：如图所示，如果∠AOB＝82°，OP是∠AOC的平分线，OQ是∠COB的平分线，请指明∠POQ的度数，并说明理由. 学生：∠POQ＝41°.理由：因为OP是∠AOC的平分线，所以∠POC＝ ∠AOC.因为OQ是∠COB的平分线，所以∠COQ＝∠BOC.所以∠POQ＝∠POC+∠COQ＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠COB）＝∠AOB＝×82°＝41°. 探究四：角的互余和互补 1.角的互余和互补 已知∠α和∠β. 如果∠α+∠β＝90°，那么我们就称∠α与∠β互为余角，简称互余.其中，∠α（∠β）叫做∠β（∠α）的余角. 如果∠α+∠β＝180°，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补.其中，∠α（∠β）叫做∠β（∠α）的补角. 2.余角和补角的计算 如果∠α＝46°，那么它的余角是多少度?它的补角是多少度?（∠α的余角和补角分别为44°，134°） 如图所示，∠AOB＝90°.写出图中互为余角的角.（∠AOC与∠COB） 如图所示，∠DSE＝180°，写出图中互为补角的角.（∠DSF和∠FSE ） 3.余角和补角的性质 （1）如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等吗?说明理由. ∠1和∠2相等. 理由：因为∠1+∠α＝90°，∠2+∠α＝90°，所以∠1＝90° ∠α，∠2＝90° ∠α，∴ ∠1＝∠2. （2）如果∠3和∠4都是∠β的补角，那么∠3和∠4相等吗?说明理由. ∠3＝∠4.理由：因为∠3+∠β＝180°，∠4+∠β＝180°，所以∠3＝180° ∠β，∠4＝180° ∠β，∴∠3＝∠4. 总结：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 知识拓展：（1）互余和互补都是两个角之间的数量关系的概念，不能单独说哪一个角是余角或补角. （2）两个角互余或互补只是两个角的和为90°或180°，与位置无关. （3）当互补的两个角有公共顶点时，又称这两个角互为邻补角（简称邻 补角）. 新知应用 例1 已知∠1＝103°24′28″，∠2＝30°54″，求∠1+∠2和∠1 ∠2的度数. 解：∠1+∠2＝103°24′28″+30°54″. （82″＝1′22″） 所以∠1+∠2＝133°25′22″. ∠1 ∠2＝103°24′28″ 30°54″. 　（24′28″＝23′88″） 所以∠1 ∠2＝73°23′34″. 思考：这里的计算方法和列式计算有什么相似之处? 例2 如图所示， （1）∠AOC是哪两个角的和? （2）∠AOB是哪两个角的差? （3