第23章图形的相似23.3.3相似三角形的性质（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（华东师大版）

第23章　图形的相似 23.3　相似三角形 3　相似三角形的性质 教学目标 1.掌握相似三角形对应高 、对应角平分线、对应中线、周长、面积的性质. 2.能利用相似三角形的性质解决实际问题. 教学重难点 重点：掌握相似三角形对应高 、对应角平分线、对应中线、周长、面积的性质. 难点：能利用相似三角形的性质解决实际问题. 教学过程 复习巩固 1.什么叫相似三角形？ 对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫做相似三角形. 2.什么叫相似比？ 相似三角形对应边的比叫做相似比. 3.判定三角形相似的方法：（1）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 判定定理2：两边成比例且夹角相等的的两个三角形相似. 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 4.相似三角形的性质： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等， 相似比等于对应边的比. 导入新课 【问题1】 活动1（学生交流，教师点评） 一个三角形中三类重要线段：高、中线、角平分线. 思考：如果两个三角形相似，除了对应边成比例，对应角相等外，那么这些对应线段有什么关系呢？相似三角形还有哪些性质呢？ 教师引出课题：23. 3　相似三角形 3　相似三角形的性质 探究新知 探究点一　相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比 【问题2】 活动2（小组讨论，师生互学） 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？ 【解】如图，分别作出 △ABC 和 △A′B′C′的高 AD 和 A′D′. 则∠ADB ＝∠A′D′B'＝90°. ∵ △ABC ∽△A′B′C′， ∴ ∠B＝∠B′， ∴ △ABD ∽△A′B′D′（两角对应相等的两个三角形相似） . ∴ ＝k. 【结论】 相似三角形的对应边上的高的比等于相似比. 类似地，可以证明相似三角形对应边上的中线，对应角的平分线之比也等于相似比. 因而，相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比. 一般来说，相似三角形对应线段的比等于相似比. 活动3（学生交流，教师点评） 典例讲解（师生互动） 例1　已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为对应角的平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm.求EH的长. 【探索思路】（引发学生思考）根据相似三角形对应边的比等于对应角平分线的比，列出比例式，从而求出线段EH的长. 【解】∵ △ABC∽△DEF， ∴ （相似三角形对应角平分线的比等于相似比）， ∴ ，解得EH＝3.2（cm）， 即EH的长为3.2 cm. 【即学即练】（师生互动） 1.一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（ ） A.18　　　　B.12　　　C.24　　　D.30 【解析】设这个多边形的最长边是x，则， 解得x＝18.故选A. 【答案】A 探究点二　相似三角形周长的比 【问题3】 活动4　（小组讨论，师生互学） 思考：如果两个三角形相似，那么它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比是多少？ 【解】因为 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k， 所以， 因此AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而 . 所以△ABC与△A'B'C′的周长比等于相似比. 【结论】 相似三角形周长的比等于相似比. 【即学即练】 2.已知△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的周长的比为（ ） A.3∶4　　　　B.4∶3　　　　C.9∶16　　　　D.16∶9 【解析】∵ △ABC∽△DEF，且相似比为3∶4， 又∵ 相似三角形的周长比等于相似比， ∴ 它们的周长比为3∶4. 【答案】A 探究点三　相似三角形面积的比 【问题4】 活动5　（小组讨论，师生互学） 思考：两个相似三角形的面积的比与相似比之间有什么关系呢？ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应面积的比是多少？ 【解】如图，分别作出△ABC 和△A′B′C′的高 AD 和 A′D′. 由前面的结论，我们有 【结论】 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 活动6（学生交流，教师点评） 典例讲解（师生互动） 例2　已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2. （1）求△DEF的周长； （2）求△DEF的面积. 【探索思路】已知相似三角形的对应边的比，然后根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列式计算即可. 【解】（1）∵ △ABC∽△DEF， ＝，∴ △DEF的周长＝12× ＝8（cm）. （2）∵ △