第23章图形的相似23.1.2平行线分线段成比例（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（华东师大版）

第23章　图形的相似 23.1　成比例线段 2　平行线分线段成比例 教学目标 1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活运用. 2.掌握平行于三角形一边的直线的性质. 教学重难点 重点：掌握“平行线分线段成比例”的基本事实. 难点：平行线分线段成比例定理的推导证明. 教学过程 复习巩固 成比例线段的概念：对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如（或a∶b＝c∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段. 导入新课 【问题1】 活动1（学生交流，教师点评） 如图所示，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE、EF的长度. （1）与相等吗？ （2）任意平移l5，再度量AB、BC、DE、EF的长度，与相等吗？ （3）图中与，与，与，是否也相等呢？ 【答案】（1）相等；（2）相等；（3）相等. 可以发现，当l3∥l4∥l5 时， 有＝，＝，＝，等. 教师总结： 引出课题： 23.1　成比例线段 2　平行线分线段成比例 探究新知 探究点一　平行线分线段成比例的基本事实 活动2（学生交流，教师点评） 阅读教材第51页～第52页的内容，完成问题，得到结论： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称“平行线分线段成比例”） 符号语言表示： ∵ l3∥l4∥l5， ∴ ＝，＝，＝，＝. 【注意】对应线段写在对应的位置. 活动3　合作探究，解决问题（师生互学） 典例讲解 例1　如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1、l2、l3所截，AB＝3，BC＝2，求DE∶DF的值. 【探索思路】（引发学生思考）已知l1∥l2∥l3及AB、BC的长，利用平行线分线段成比例求解. 【解】∵ l1∥l2∥l3，∴ AB∶BC＝DE∶EF＝3∶2，∴ DE∶DF＝3∶5. 【题后总结】（学生总结，老师点评）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 探究点二　平行于三角形一边的直线的性质 【问题2】 活动4（学生交流，教师点评） 阅读教材第52页～第53页的“思考”内容，完成问题，归纳总结，得出结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 符号语言表示：如图，在△ABC中，DE∥BC， 则 ，. 活动5　典例讲解（师生互动） 例2　如图，在△ABC中， EF∥BC. （1）如图（1）所示，如果E、F分别是AB和AC上的点， AE＝BE＝7，FC＝ 4， 那么 AF的长是多少？ （2）如图（2）所示，如果AB ＝ 10， AE＝6，AF ＝ 5 ，那么FC的长是多少？ 　　　　　 （1）　　　　　　　　（2）　 【探索思路】要求线段的长，由EF∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例列比例式求解. 【解】（1）∵ EF∥BC，∴＝ . ∵ AE＝BE＝7，FC＝4，∴＝，∴ AF＝4. （2）∵ EF∥BC，∴ ＝. ∵ AB＝10，AE＝6，AF＝5，∴ ＝， ∴ AC＝，∴ FC＝AC-AF＝-5＝. 【即学即练】（学生独学） 1.如图，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，如果EG＝4，求AC的长. 【探索思路】求AC的长，需要转化为求AE、GC的长. 【解】∵ DE∥FG∥BC，∴ AE∶EG∶GC＝AD∶DF∶FB＝2∶3∶4. ∵ EG＝4，∴ AE＝，GC＝， ∴ AC＝AE+EG+GC＝12. 活动6　拓展延伸（师生互动） 典例讲解 例3　如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC、AB于点E、F，连结BE、CF，分别交DF、DE于点N、M，连结MN.试判断△DMN的形状，并说明理由. 【探索思路】观察法：观察图形，猜测△DMN为等边三角形→已知线段平行→得＝→由平行线分线段成比例推论得MN∥BC→得结论. 【解】△DMN为等边三角形.理由：∵ DE∥AB，且△ABC为等边三角形，DF∥AC， ∴ ∠EDC＝∠ABC＝60°，∠BDF＝∠ACB＝60°， ∴ ＝，＝，∴ ＝，∴ MN∥BC， ∴ ∠MND＝∠BDN＝60°，∠NMD＝∠MDC＝60°，∴ △ DMN为等边三角形. 【题后总结】（学生总结，老师点评）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例；有两个角为60°的三角形是等边三角形. 活动7　典例讲解（师生互动） 例4　如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD. 求证：AD是AB和AF的比例中项. 【探索思路】 分别在△ABC及△ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论. 【