3.1 概率的进一步认识（重难点突破＋AB分层训练）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

3.1 概率的进一步认识（重难点＋AB分层训练） 【知识点一、用树状图或表格求概率】 1、树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法 注意: (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题; (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同 通过化简后，只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是2（二元）的整式方程，叫做一元二次方程. 2、列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 注意: (1)列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题; (2)列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 (1)列举(列表、画树状图)事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等。 (2)如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m; (3)用公式计算所求事件A的概率,即P(A) 【知识点二、用频率估计概率】 1、频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值。 概率：事件A的频率一接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。 2、频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试 验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 注意： (1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率; (2)频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等; (3)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计. 注意： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 概率. 考点1 用树状图或表格求概率（数字问题） 【例1】（2023·安徽合肥·合肥市五十中学西校校考模拟预测）用、、、四个数字组成一个各位不重复的四位数（千位数字不为），得到的四位数是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（2023·安徽合肥·统考三模）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2023·安徽合肥·校考一模）用0、1、2三个数字组成一个三位数（百位数字不为0），得到的三位数是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2023·安徽六安·校考三模）如图，在三个空格中随机填上0，2，3三个数字，每个空格填一个数字，按从左往右的顺序恰好是“2023”的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（2023·河南商丘·校考一模）如图是某物理实验室里四排日光灯的4个控制开关（分别记为，每个开关分别随机控制一排日光灯，开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．在4个开关都闭合的情况下，雷老师准备做光学实验．由于灯光太强，他需要关掉部分灯，于是随机将4个开关中的2个断开，则恰好关掉第一排和第四排灯的概率为（　　） A． B． C． D． 考点2 用树状图或表格求概率（不放回摸球问题） 【例2】（2023·北京海淀·校考三模）不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2023·山东·统考中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　） A． B．