专题12 将军饮马模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题12 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值 【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小 。 图1 图2 （1）如图1，点A、B在直线m两侧： 辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB. （2）如图2，点A、B在直线同侧： 辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’ ，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B. 例1．（2022·广东·九年级专题练习）已知点，，在x轴上的点C，使得最小，则点C的横坐标为_______． 例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______． 例3．（2022·浙江·临海市八年级开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____． 例4．（2023.浙江八年级期中）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？ 例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　 　； （2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由． 模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值 【模型探究】已知定点A位于定直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’ 、A’’ ，连接A’A’’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’A’’. 例1．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 例2．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ___． 例3.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值 【模型探究】A，B为定点，在定直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）如图1，两个点都在直线外侧： 辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB. （2）如图2，一个点在内侧，一个点在外侧： 辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB’. 图1 图2 （3）如图3，两个点都在内侧： 辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’. （4）如图4，台球两次碰壁模型： 辅助线：同图3辅助线作法。 图3 图4 例1．（2023.浙江八