4.3.1 等比数列的概念-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》 4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1.理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题. 通过本节课的学习，要求能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题. 课前预习 1．等比数列的概念 一般地，如果数列{an}从第 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称数列{an}为 ，其中 称为等比数列的公比． 2．等比数列的通项公式及其推广 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式 ，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N*. 3．等比数列的单调性 等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列为 ； (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列为 ； (3)当q＝1时，数列为 ； (4)当q<0时，数列为 ． 4.两个常用的结论： （1）判断一个数列是否是等比数列的常用方法有： ①定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为 ． ②通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为 ． （2）公式an＝amqn－m中，体现了已知任意两项便可求公比q，即可求任意一项的思想． 5.构造等比数列的技巧 由递推关系an＋1＝Aan＋BA，B为常数，且A≠0，A≠1求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝Aan＋λ可得 ，这样就构造了等比数列{an＋λ}. 6．等比中项 定义 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项 关系式 结论 在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的 7．等比数列的性质 在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq. (1)特别地，当 (s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝a. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 8.两个常用的结论： (1)“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk. (2)两个等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列． 9.等比数列的设法技巧 三个数成等比数列，可设为，a，aq；四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0)；当五个数成等比数列时，可设为，，a，aq，aq2. 知识讲解 1、等比数列的概念及通项公式 （1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用表示 ( )． （2）等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列． （3）如果 成等比数列，那么叫做与的等比中项，且， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ． （4）递推公式形式的定义：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*). （5）一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*). 若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*). 【大招总结】 1. 等比数列的定义， 2.等比数列的通项公式： 或。 3．等比数列的前和： ①当时，；②当时，。 4、等比中项： ⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项， ⑵当时，则有。 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 二级结论总结 1.等比中项与等差中项的异同，对比如下表： 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项 2. (1)在等比数列{an