4.2.2 等差数列的前n项和公式-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》 4.2 等差数列 4.2.2等差数列的前n项和公式 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1． 掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项. 2． 会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 3． 能处理与等差数列相关的综合问题. 通过本节课的学习，要求能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题. 课前预习 1．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝na1＋d 2．等差数列前n项和Sn的性质 (1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn， ，S3n－S2n， ，…构成等差数列． (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)． 3.常用的结论： 等差数列的前n项和其他常用性质 1等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为 的等差数列. 2数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bna，b为常数⇔数列为等差数列. 3若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d. ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，. 4若{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则 4.等差数列求和公式的应用技巧 技巧1：在求等差数列的前n项和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好． 技巧2：选用公式Sn＝求和时要注意应用等差数列下标和性质对a1+an整体替换. 5．求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法有两种： (1)用二次函数的性质求解． (2)明确数列中的正项与负项，用负项之和最小，正项之和最大来解决． 6．解决数列应用题时应分清：(1)是不是等差数列问题；(2)是通项问题还是求和问题． 7.两个常用的结论： (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的 值． (2)当公差d≠0时，Sn是关于n的二次函数，可以借助二次函数的性质求Sn的最值，但需注意自变量n的取值范围． 8.求等差数列前n项和的最值问题的技巧 技巧1：运用配方法，将Sn＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决． 技巧2：通项公式法： ①当a1>0，d<0时，数列{an}的正数项有限，前n项和有最大值，由可求出Sn取得最大值时的n值． ②当a1<0，d>0时，数列{an}的负数项有限，前n项和有最小值，由可得Sn取最小值时的n值. 9.常见的裂项技巧： (1)； (2) ； (3)； (4) 知识讲解 1.等差数列的前n项和公式：若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是， 公差是，则其前项和公式为. 2.相关性质： （1）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. （2）,则,. （3）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （4）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值． 3. 最值问题： （1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值． 当，时，有最大值；，时，有最小值； 若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值. （2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）； 4. 数列中an与Sn的关系 ，对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝ 【大招总结】 1.等差数列的定义 ①或② 2．等差数列的通项公式： 或 3．等差数列的前和： ， 4、等差中项： ⑴若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 ⑵当时,则有 二级结论总结 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{