4.2.1 等差数列的概念-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》 4.2 等差数列 4.2.1等差数列的概念 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1.理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念. 2. 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题. 通过本节课的学习，要求能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题. 课前预习 1．等差数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于 ，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为 ，其中d称为等差数列的公差． 2．等差数列的通项公式及其推广 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d可变形为an＝dn＋(a1－d)． （1）若d＝0，则 ，其是常数函数； （2）若d≠0，则an是关于n的 ． （3）(n，an)是直线y＝dx＋(a1－d)上一群孤立的点． 3．等差数列的单调性 等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为 ；若公差d<0，则数列{an}为 ，，为 . 常用的结论： 若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则该数列是 . 4.判断一个数列是不是等差数列的常用技巧 (1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是 ； (2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是 ． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可． 5．等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的 ，且A＝. 在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项． 6．等差数列的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ . ①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时， . ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝ ． 7.等差数列常用的结论： (1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 ． (2)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为 的等差数列． (3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的 ，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的 ． (4){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为 ；d<0⇔{an}为 ；d＝0⇔{an}为常数列． 8.连续n项成等差数列的设法技巧 技巧1：当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为 . 技巧2：当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 知识讲解 一、等差数列的有关概念 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 2.等差数列的通项公式：；. 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列. 3.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 二、等差数列的性质： 1.等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；[来源:学+科+网] （2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差数列中，对任意，，，； （4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列. （6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列． 2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项