2024届高三数学一轮复习讲义之统计案例

课题：统计案例 知识点一、统计案例 1.分类变量 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 2.列联表 列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． 3.独立性检验 利用随机变量来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． 4.独立性检验的步骤 （1）计算随机变量的观测值k，查表确定临界值k0： P(≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”． 5.独立性检验的方法 （1） 独立性检验的步骤： ①根据样本数据制成2×2列联表； ②根据公式，计算的观测值； ③比较与临界值的大小关系作统计推断． （2）独立性检验得出的结论带有概率性质，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值，3.841和6.635就是两个常用的临界值，一般认为当≥3.841时，则有95%的把握说事件A与B有关；当≥6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关． 【典型例题】 【例1】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到列联表：   男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由，计算得 附表： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是(　　) A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【例2】某班学生数学、外语成绩得到2×2列联表如： 数优 数差 总计 外优 34 17 51 外差 15 19 34 总计 49 36 85 那么，随机变量等于________． 【例3】某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主) (1)根据以上数据完成下列2×2列联表： 主食蔬菜 主食肉类 合计 50岁以下 50岁以上 合计 (2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析． 【举一反三】 1.随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表. 年龄（单位：岁） [15,25） [25,35） [35,45） [45,55） [55,65） [65,75） 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 5 10 12 7 2 1 （1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关； 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 （2）若从年龄在[55,65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率. 参考数据如下： 2.假设某地有男驾驶员300名，女驾驶员200名.为了研究驾驶员日平均开车速度是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名驾驶员，先统计了他们某月的日平均开车速度，然后按“男驾驶员”和“女驾驶员”分为两组，再将两组驾驶员的日平均开车速度（千米/小时）分成5组：[50,60），[60,70），[70,80），[8