【模拟题精选】专题1.3 立体几何与空间向量-高三一轮复习汇编

专题1.3 立体几何与空间向量 题组一、线面、面面角的计算 1-1、（江苏省南通市海安市2024届高三期初学业质量监测试卷数学） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点满足，点为棱与平面的交点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 1-2、（江苏省高邮市2023-2024学年第一学期高三期初学情调研测试） 如图，在多面体中，平面，平面平面，其中是边长为的正三角形，是以为直角的等腰三角形. （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长度． 1-3、（常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研） 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2，BC=1， 平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，PA=PD，M为PC上一点， PM=2MC，PA//平面MBD. (1) 求CD的长度； (2) 求证：PA⊥平面PBD；P A B C D M 第20题 (3) 求PA与平面PBC所成角的正弦值. 1-4、（2023—2024学年第一学期8月南京六校联合调研试题高三数学） （本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设是棱上的点，若二面角的余弦值为，试求直线与平面所成角的正弦值. 1-5、（湖南师范大学附属中学2024届高三摸底考试数学） 如图，圆台的轴截面为等腰梯形为下底面圆周上异于的点. （1）在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 1-6、（江苏省泰州中学2023-2024学年秋学期高三年级期初调研试数学学科试） 如图1，在中，，，，P是边的中点，现把沿折成如图2所示的三棱锥，使得. （1）求证：平面⊥平面； （2）求二面角的余弦值. 1-7、（河北省唐山县2023-2024级高三上学期10月考试） 如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点． （1）求证：侧面PAC⊥平面PBC； （2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小． 1-8、（广东省广州市2023-2024年中大附中9月月考数学试题） 如图，在正三棱柱中，点为侧棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面的夹角的大小. 1-9、（江苏常州2022-2023学年第一学期八校高三年级联合调研） 如图，在三棱柱中，为的中点，平面平面 （1）证明：平面; （2）己知四边形为边长为2的菱形，且，求二面角的余弦值． 1-10、（江苏连云港2023—2024学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题） 在正方体中，设，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 1-11、（浙江省新阵地教育联盟2024届第二次联考数学试题卷） 如图，在三棱锥中，，． （1）证明：； （2）若，，点D满足，求二面角的大小． 题组二、距离及的范围问题 2-1、（山东省济南市2023—2024学年高中三年级摸底考试数学试题） （12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，点是棱的中点，点是棱上一点. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 2-2、（广东石门高级中学2023~2024学年度第一学期高三年级数学科第二次统测试题） （本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，点为侧棱的中点，且. （1）证明：平面平面 （2）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 题组三、探索性问题 3-1、（山东新高考联合质量测评9月联考试题高三数学 ） （12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，点E在平面PBC上运动． （1）试确定一点E，使得平面PAE，并说明点E的位置； （2）若四棱锥的体积为6，在侧棱PC上是否存在一点F，使得二面角的余弦值为．若存在，求PF的长，若不存在，请说明理由． 3-2、（江苏省南通市海安中学2023-2024高三阶段性测试） 如图，直三棱柱中，，，，D为AB中点，E为上一点，且. （1）当时，求证：平面； （2）若直线CE与平面所成的角为，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 立体几何与空间向量 题组一、线面、面面角的计算 1-1、（江苏省南通市海安市2024届高三期初学业质量监测试卷数学） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点满足，点为棱与平面的交点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. .【解析】（1）证明:过作交于点，连接，∴ ∴平面延伸至平面，∴. （2）如图建系，∴，，，， ，，. 设平面的一个法向量，∴ 设与平面所成角为，∴ 1-2、（