专题06 线段与角的等量代换模型-2023-2024学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 模型1. 线段与角度的等量代换模型 【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：如图，已知∠AOB=∠DOC；结论：∠1=∠2. 条件2：如图，已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（2023·重庆七年级课时练习）如图，点C, D在线段AB上，若AC=DB, 则（    ） A．AC=CD B．CD=DB C．AD=2DB D．AD=CB 例2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 例4．（2023秋·河南漯河·七年级校考期末）如图，D、E顺次为线段上的两点，，C是的中点，则的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 例5．（2023·广东广州·七年级校考期末）如图， （1）若，则 ； （2）若，则 ． 例6．（2023·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，，则的度数是（   ）    A．30° B．80° C．40° D．45° 例7．（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（    ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 例8．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图所示，是一条直线，若，则，其理由是（   ） A．内错角相等 B．等角的补角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 例9．（2023·福建福州·七年级统考期末）如图，平面内，平分，则以下结论：①；②；③；④平分． 其中正确的是 ．（填序号） 例10．（2023.黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．    (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数． 例11．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数．    甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线上， ∴　　　　， ∵， ∴　　　　， ， ∴平分， ∴　　　　， ∵，， ∴　　　　． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． (2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 例12．（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)如果，那么与互相垂直吗？请说明理由． 课后专项训练 1．（2023·山西大同·七年级统考期末）如图，线段AB上有C，D两点，其中D是BC的中点，则下列结论一定正确的是（   ） A．AB－AC＝BD B．CD＋BD＝AC C．CD＝AB D．AD－AC＝DB 2．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（    ） A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较 3．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）如图，点C、D是线段AB上任意两点，点M是AC的中点，点N是DB的中点，若，，则线段CD的长是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏·七年级阶段练习）如图所示，点P，Q，C都在直线AB上，且P是AC的中点，Q是BC的中点，若AC＝m，BC＝n，则线段PQ的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，，则图中互补的角共有（    ）    A．7对 B．6对