专题4.7 数列的求和大题专项训练【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.7 数列的求和大题专项训练【六大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 倒序相加法求和 1．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）记为等差数列的前项和 (1)若，求数列的通项公式. (2)若，记为数列的前项和，求的值. 2．（2023秋·江苏·高二专题练习）设函数，设，． (1)计算的值． (2)求数列的通项公式． 3．（2023春·上海·高二专题练习）已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是． (1)判断数列单调性，并说明理由； (2)求数列的通项公式； (3)表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)令，求数列的前2020项和. 5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，的前n项和为． （1）若，，求证：，其中，； （2）若对任意均有，求的通项公式； （3）若对任意均有，求证：． 题型二 错位相减法求和 6．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 7．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，，数列的前n项和为． (1)求数列和的通项公式． (2)设为数列的前n项和，，，求． 8．（2023秋·广东广州·高三校考阶段练习）已知数列满足， (1)记，求证：为等比数列； (2)设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且． (1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)若______，求数列的前n项和． 从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 10．（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式，结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等差数列的性质进行求解即可； （ⅱ）利用错位相减法进行求解即可. 题型三 裂项相消法求和 11．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前项和. 12．（2023秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，且： (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和. 13．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列中，已知，，记． (1)证明：数列为等比数列； (2)记______，数列的前n项和为，求． 在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 14．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，，数列的前项和为，求对任意都成立的最小正整数. （参考公式：，） 15．（2023秋·天津宁河·高三校考期末）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且． (1)求和的通项公式； (2)令，求证：； (3)记其中，求数列的前项和． 题型四 分组（并项）法求和 16．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）记为等差数列的前n项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前23项的和. 17．（2023秋·天津和平·高三校考阶段练习）数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，． (1)求数列的公差以及数列的公比； (2)求数列前项的和． (3)求数列前项的和． 18．（2023·海南·统考模拟预测）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（2023春·上海宝山·高二统考期末）在数列中，.在等差数列中，前项和为，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不