第五章 导数及其应用（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第五章 导数及其应用（知识归纳+题型突破） 1．通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率． 2．会在具体情境中，说明平均变化率的实际意义． 3．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 4．会求简单函数在某点处的导数及其图象在该点处的切线方程． 5．理解导函数的定义，能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数，并归纳得出一般幂函数的导数公式． 6．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 7．理解函数的和、差、积、商的求导法则； 8．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 9．了解复合函数的复合过程． 10．能利用复合函数的求导法则求简单函数的导数． 11．借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 12．能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 13．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 14．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 15．会求给定定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 16．体会导数与最大(小)值的关系． 17．能应用导数解决函数的实际应用问题． 1．平均变化率 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为． 我们利用函数的平均变化率来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 2．平均变化率的几何意义 平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 3．函数f(x)在点x0附近的平均变化率 对于函数f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则得函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率为＝＝．其中Δx称作自变量的改变量，Δy称作函数值的改变量． 4．曲线上一点处的切线 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C．当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线． 5．瞬时速度与瞬时加速度 瞬时 速度 一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率 瞬时加速度 一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率 6．函数在一点处的导数 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 7．导数的几何意义 导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 8．导函数 (1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的导数． (2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值． 9．几个一般函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝kx＋b(k，b为常数) f′(x)＝_k_ f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 10．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x 11．导数的运算法则 设两个函数分别为f(x)和g(x)，则 (1)[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)； (2)[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)； (3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)； (4)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (5)′＝(g(x)≠0)．