第五章 导数及其应用（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第五章 导数及其应用（压轴题专练） 题型一 实际问题中的平均变化率 【例1】物体的运动方程为S＝(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度． 思维升华 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．　　 巩固训练 1．已知某物体运动的位移s是时间t的函数，且s(t)＝5t2． (1)求这个物体t从3秒到3．1秒的平均速度； (2)求这个物体t从3秒到3．01秒的平均速度． 2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的函数关系式为h(t)＝－4．9t2＋6．5t＋10． (1)求运动员在第一个0．5 s内的平均速度； (2)求运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度． 题型二　平均变化率的意义 【例2】已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3． (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0．01)？此结论可说明什么意义？ 思维升华 函数的平均变化率在实际的生产生活中有着广泛的应用，如求平均速度、平均劳动生产率、面积和体积的变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．　　 　 巩固训练 1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释． 2．路灯距地面8 m，一个身高为1．6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯． (1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式； (2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率． 题型三　瞬时速度及瞬时加速度 【例3】一物体做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝5t－t2，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度是(　 ) A．－1 m/s B．1 m/s C．2 m/s D．6 m/s 思维升华 1．求运动物体瞬时速度的步骤 (1)求时间的改变量Δt和位移的改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求平均速度＝； (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ ． 2．求运动物体瞬时加速度的步骤与求其瞬时速度的步骤相仿，不同的是求瞬时速度时函数值的改变量是位移s(t)的改变量，而求其瞬时加速度时，函数值的改变量是速度v(t)的改变量．　　 巩固训练 1．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为常数)，该小球在t＝1到t＝3的平均速度为，在t＝2的瞬时速度为v2，则和v2关系为(　 ) A．>v2 B．<v2 C．＝v2 D．不能确定 2．一物体沿斜面自由下滑，测得下滑的位移s与时间t之间的函数关系为s＝3t3，则当t＝1时，该物体的瞬时加速度为(　 ) A．18 B．9 C．6 D．3 题型四　导数的简单综合应用 【例4】已知直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．　　　　　　 思维升华 导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这是解决问题的关键所在． (2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析．　　 　　 巩固训练 1．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　 ) A．∪ B．[0，π) C． D．∪ 2．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为(　 ) A．1 B． C． D． 题型五　复合函数导数的应用 【例5】设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值． 思维升华　 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在求有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注