2.6.1 直线与圆的位置关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2．6.1　直线与圆的位置关系 明学习目标 知结构体系 课标要求 能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系． 重点难点 重点：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系． 难点：运用直线与圆的方程解决简单的问题. 直线与圆的位置关系及判断 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离d＝，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __2__ 1 __0__ 几何法 d＜r d＝r d＞r 代数法 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 (1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系． (2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离． (3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，较繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法． 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　 ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析：选B　∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝＜1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心． 2．(多选)直线l：x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是(　 ) A．相离 B．相切或相离 C．相交 D．相切 解析：选CD　l过定点A(1,1)，又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，又直线x＝1过点A且为圆的切线，∴l与圆相交或相切．故选C、D. 3．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1, 若直线l与圆C相切，则k＝________. 答案：0或 [题点一] 直线与圆的位置关系的判断 [典例]　已知圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k分别为何值时，直线与圆的位置关系满足下列条件： ①相交；②相切；③相离． [解]　法一(代数法)：联立 消去y，整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0， 则Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)＝－32k2＋4＝4(1－8k2)． ①当直线与圆相交时，Δ＞0，即－＜k＜； ②当直线与圆相切时，Δ＝0，即k＝±； ③当直线与圆相离时，Δ＜0，即k＜－ 或k＞. 法二(几何法)：圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离d＝＝.由题意知，圆的半径r＝1. ①当直线与圆相交时，d＜r，即＜1, 解得－＜k＜；②当直线与圆相切时，d＝r，即＝1，解得k＝±；③当直线与圆相离时，d＞r，即＞1，解得k＜－或k＞. [方法技巧] 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面： 一是点到直线的距离与半径大小的关系； 二是直线与圆的公共点的个数； 三是两方程组成的方程组解的个数． 因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．　　 [对点训练] 　(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　 ) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：选ABD　选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝＝|r|， ∴直线l与圆C相切，A正确．选项B， ∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝>|r|， ∴直线l与圆C相离，B正确．选项C， ∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝<|r|，∴直线l与圆C相交，C错误．选项D，∵点A在直线l上， ∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，D正确．故选A、B、D. 题点二 直线与圆相交问题 [典例]　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． [解]　法一：由 得交点A(1,3)，B(2,0)， 故弦AB的长为|AB|＝＝. 法二：由 消去y，得x2－3x＋2＝0. 设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1