3.1.1 椭圆的标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

　 3．1.1　椭圆的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，了解椭圆的实际背景． 2.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 3.会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 重点难点 重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及标准方程． 难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (一)椭圆的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距．焦距的一半称为半焦距． 1．对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆． 2．对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 3.定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)． 　下列说法正确的是(　 ) A．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案：C (二)椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的 关系 c2＝a2－b2 1．椭圆标准方程中参数a，b的几何意义 标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状和大小，这是椭圆定形的条件，a，b，c三个量满足a2＝b2＋c2，恰好是一个直角三角形的三条边长，我们把如图所示的直角三角形F2OM称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a，b，c的几何意义． 2．椭圆的焦点位置 椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”． 3．与椭圆焦点三角形有关的常用公式 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在焦点三角形MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos∠F1MF2. (3)设椭圆上任一点M(xM，yM)，焦点三角形的面积S△F1MF2＝c|yM|＝|MF1||MF2|·sin∠F1MF2＝b2tan. 1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1 解析：选A　由椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)可知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1.又点P(2,0)在椭圆上，∴a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝22－12＝3， ∴椭圆的标准方程为＋＝1.故选A. 2．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是(　 ) A．(±，0) B．(0，±) C.±，0 D. 答案：C 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 —————————————————————————————————— 求椭圆的标准方程 ——————————————————————————————————————— [典例]　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (3)经过点P，Q. [解]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以 解得 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：(分类讨论法)①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 由a＞b＞0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时