检测评价17 点到直线的距离（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（十七） 点到直线的距离 (一)基础落实 1．点(1,1)到直线ax＋2y＋2＝0的距离为2，则a的值为(　 ) A．0 B. C．0或 D．0或－ 解析：选C　点(1,1)到直线ax＋2y＋2＝0的距离为＝2，解得a＝0或a＝. 2．如果两直线l1：3x＋y－3＝0与l2：6x＋my＋1＝0互相平行，那么它们之间的距离为(　 ) A．4 B. C. D. 解析：选D　由题意，得3m－6＝0且3＋18≠0，解得m＝2，故直线l1：6x＋2y－6＝0与l2：6x＋2y＋1＝0它们之间的距离为＝. 3．已知坐标原点到直线x＋y＋a＝0的距离小于，则实数a的取值范围为(　 ) A．(－2,2) B．[－2,2] C．[－，] D．(－，) 解析：选A　由点到直线的距离公式知， <，解得－2<a<2， 故实数a的取值范围为(－2,2)． 4．(多选)已知直线y＝2x与x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则(　 ) A．a＝－3 B．b＝2 C．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为 D．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为 解析：选ABD　由题意，得解得a＝－3，b＝2，故A、B正确， ∴(1,2)到直线－3x＋2y＋3＝0的距离d＝＝，故C错误，D正确． 5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C　设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5. 6．点P(3,1)到直线y＝2的距离为________，到x＝2的距离为________． 解析：点P到直线y＝2的距离d1＝|2－1|＝1， 到直线x＝2的距离d2＝|3－2|＝1. 答案：1　1 7．一条与直线x－2y＋3＝0平行且距离大于的直线方程为____________． 解析：设该直线方程为x－2y＋b＝0(b≠3)，由距离公式可知>，解得b<－2或b>8， 则该直线可以为x－2y＋9＝0. 答案：x－2y＋9＝0(答案不唯一) 8．点(0,2)到直线y＝k(x＋2)距离的最大值为______． 解析：因为直线y＝k(x＋2)显然过定点(－2,0)，设A(－2,0)，B(0,2)，如图，连接AB. 若AB⊥l，则点(0,2)到直线y＝k(x＋2)的距离为d＝|AB|＝2； 若AB不垂直l，则点(0,2)到直线y＝k(x＋2)的距离d必小于|AB|. 综上，点(0,2)到直线y＝k(x＋2)距离的最大值dmax＝|AB|＝2. 答案：2 9．已知直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点为M. (1)求过点M且到点P(0,4)的距离为2的直线l的方程； (2)求过点M且与直线l3：x＋3y＋1＝0平行的直线l的方程． 解：联立解得 ∴l1，l2的交点M为(1,2)． (1)当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故可设所求直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0. ∵P(0,4)到直线l的距离为2， ∴2＝，解得k＝0或k＝， ∴直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0. (2)过点M(1,2)且与x＋3y＋1＝0平行的直线l的斜率为－，∴所求直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋3y－7＝0. 10．已知直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0. (1)证明：直线l过某定点，并求出该定点坐标； (2)若m＝0，试求过点(－2，－4)且与直线l平行的直线l′的方程，并求出两平行线间的距离． 解：(1)证明：直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0可变形为(x＋y－4)＋m(3x－y)＝0，令解得x＝1，y＝3，所以直线l过定点(1,3)． (2)若m＝0，则x＋y－4＝0，∴直线l的斜率为－1，∴直线l′的方程为y＝－(x＋2)－4， 即x＋y＋6＝0，∴两平行线间的距离d＝＝5 . (二)综合应用 1．已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　 ) A．3 B．6 C．2 D．2 解析：选C　由题意直线AB的方程为x＋y＝4，设P关于直线AB的对称点Q(a，b)， 则解得 即Q(4,2)，又P关于y轴的对称点为T(－2,0)， 所以总路程|QT|＝＝2. 2．已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为(