检测评价38 二项式系数的性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（三十八） 二项式系数的性质 (一)基础落实 1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是(　 ) A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 解析：选D　第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数为C. 2．设二项式n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　 ) A．第9项 B．第8项 C．第9项和第10项 D．第8项和第9项 解析：选A　因为展开式的第5项为T5＝Cx－4，所以令－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项． 3．(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是(　 ) A．第4项 B．第4、5项 C．第5项 D．第3、4项 解析：选B　(x－y)n的展开式有n＋1项，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项． 4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　 ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选B　x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C·2＝6. 5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　 ) A．－2 B．1 C．2 D．2×39 解析：选A　令x＝－1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________． 解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5. 答案：5 7．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________． 解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝310， 两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝. 答案： 8．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 解析：因为8<C＋C＋…＋C<32，即8<2n<32. 所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x. 答案：6x 9．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值． 解：由5得， Tr＋1＝C5－rr＝5－r·C·. 令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4， 所以常数项T5＝C×＝16. 又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n. 由题意得2n＝16，所以n＝4. 由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3， 所以Ca4＝54，所以a＝±. (二)综合应用 1．(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N＋)展开式中的一次项系数为(　 ) A．C B．C C．C D.C 解析：选C　一次项的系数为1＋2＋3＋…＋n＝＝C. 2．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选B　由二项式系数的性质知， 二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C＝a， 二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C＝C＝b， 因此13C＝7C， 所以13·＝7·，所以m＝6. 3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：∵n展开式的二项式系数之和为2n， ∴2n＝64，∴n＝6. ∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r. 由6－2r＝0，得r＝3， ∴其常数项为T3＋1＝C＝20. 答案：20 4．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________(填数字)． 解析：在所给的等式中，令x＝1可得 a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27，① 再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝(－4)7，② 把①②相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27＋(－4)7， 所以a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128. 答案：－8 128 5．已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)