检测评价17 双曲线的几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（十七）双曲线的几何性质 (一)基础落实 1.等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　 ) A.a＝1 B.0<a<1 C.a>1 D.a≥1 解析：选D　等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.故选D. 2.若点P(2，0)到双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　∵渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0， ∴＝1，∴a2＝3，∴c2＝4，∴e＝＝＝.故选D. 3.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析：选C　由双曲线的几何性质，得双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，∴a＝2.故选C. 4.(多选)已知双曲线C：－y2＝1，下列对双曲线C判断正确的是(　 ) A.实轴长是虚轴长的2倍 B.焦距为4 C.离心率为 D.渐近线方程为x±y＝0 解析：选BD　∵双曲线C：－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2，∴双曲线的实轴长是2a＝2，虚轴长是2b＝2，A错误；焦距为2c＝4，B正确；离心率为＝，C错误；渐近线方程为y＝±x，D正确.故选B、D. 5.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，P是双曲线C上一点，且∠F1PF2＝60°.若△F1PF2的面积为4，则a＝(　 ) A.1 B.2 C.4 D. 解析：选D　设|PF2|＝m，|PF1|＝n.由∠F1PF2＝60°，△F1PF2的面积为4， 得即 ∴c2＝a2＋4，由离心率e＝＝，得a＝.故选D. 6.已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________. 解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝，∴e＝2. 答案：2 7.已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为______________. 解析：由题意，得a2＝m，b2＝m＋6，则实轴长为2，虚轴长为2，由题意有2×2＝2，解得m＝2，代入－＝1，得双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 8.双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________. 解析：双曲线－＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±x，不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，将y＝(x－5)代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B，所以S△AFB＝AF|yB|＝(c－a)|yB|＝×(5－3)×＝. 答案： 9.根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)经过点，且一条渐近线方程为4x＋3y＝0； (2)P(0，6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为. 解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x＋3y＝0， ∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0). ∵双曲线经过点，∴×－＝λ.即λ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)设F1，F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，∵PF1⊥PF2，且OP＝6，∴2c＝F1F2＝2OP＝12，∴c＝6.又P与两顶点连线夹角为， ∴a＝OP·tan ＝2，∴b2＝c2－a2＝24. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 10.已知双曲线－＝1的右焦点为(2，0). (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积. 解：(1)∵双曲线的右焦点为(2，0)，且双曲线方程为－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4.∴b2＝1.∴双曲线的方程为－y2＝1. (2)∵a＝，b＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.令x＝－2，则y＝±. 设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B， 则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝××2＝. (二)综合应用 1.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　 ) A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D.△PF1F2的面积为1 解析：选ACD　易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项A正确；由a＝b＝1，得c＝，因此以F1F2