检测评价16 双曲线的标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1 / 7 “四翼”检测评价（十六）双曲线的标准方程 (一)基础落实 1.动点P到点M(1，0)及点N(5，0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　 ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线 解析：选C　由题意，知MN＝4，当a＝1时，PM－PN＝2a＝2<4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，PM－PN＝2a＝4＝MN，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线.故选C. 2.P是双曲线x2－y2＝16左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则PF1－PF2＝(　 ) A.4 B.－4 C.8 D.－8 解析：选D　因为双曲线方程为x2－y2＝16，化为标准方程得－＝1，即a＝4，∴|PF1－PF2|＝2a＝8，而点P在双曲线左支上，于是PF1<PF2，∴PF1－PF2＝－8.故选D. 3.对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2－ny2＝1表示的曲线是双曲线”的(　 ) A.充分不必要条件 　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　 D.既不充分又不必要条件 解析：选C　方程mx2－ny2＝1表示的曲线是双曲线⇔mn＞0，所以“mn＞0”是“方程mx2－ny2＝1表示的曲线是双曲线”的充要条件.故选C. 4.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是(　 ) A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1 解析：选C　由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 5.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由得(1－k2)x2－4kx－10＝0. 由题意得 解得－＜k＜－1. 6.已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于________. 解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝. 答案： 7.已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为__________________. 解析：由圆的方程x2＋y2－4x－9＝0，令x＝0， 得y2－9＝0，y＝±3， ∴圆与y轴的交点坐标为(0，3)，(0，－3)， ∵圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上， ∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝3， 又∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分， ∴c＝9，即有b2＝72， ∴此双曲线的标准方程－＝1. 答案：－＝1 8.过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则AB＝________. 解析：双曲线的左焦点为(－2，0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y＝(x＋2)， 即x－y＋2＝0，由 得8y2－12y＋9＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝. ∴AB＝ ＝＝3. 答案：3 9.根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)焦距为2，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0，6)，且过点A(－5，6). 解：(1)∵焦点在x轴上，且c＝， ∴设双曲线的标准方程为－＝1，0＜a2＜6. 又∵过点(－5，2)，∴－＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去). ∴双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上. ∵点A(－5，6)在双曲线上， ∴2a＝|－|＝|13－5|＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程是－＝1. 10.已知定点A(－，0)，B(，0)，动点P到两定点A，B距离之差的绝对值为2. (1)求动点P对应曲线C的轨迹方程； (2)过点Q(1，1)作直线与曲线C交于M，N两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN的方程. 解：(1)由题意知，|PA－PB|＝2<AB＝2，故动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且a＝，c＝， ∴b＝＝1，故曲线C的方程为－y2＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，满足 两式相减得＝y－y，即＝(y1－y2)(y1＋y2)， 因为点Q为MN的中点，故 ∴＝，即直线MN的斜率为，又过点Q， 故直线MN的方程为y－1＝(x－1)， 即x－2y＋1＝0. (二)综合应用 1.(多选)关于x，y的方程＋＝1(其中m2≠4)表示的曲线可能是(　 ) A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆 C.焦