检测评价41 利用导数解决实际问题（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（四十一）利用导数解决实际问题 (一)基础落实 1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　 ) A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件 解析：选C　y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.所以当x＝9时，y取得最大值. 2.某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为(　 ) A.32 m，16 m B.30 m，15 m C.40 m，20 m D.36 m，18 m 解析：选A　要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x m，则长为 m，因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－，令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，∴堆料场的长为＝32 (m). 3.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产产品的单位数为(　 ) A.100 B.150 C.200 D.300 解析：选D　由题意，总成本为C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝ P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大. 4.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为(　 ) A. B. C.d D.d 解析：选C　设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0<x<d.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝d(舍负).当0<x<d时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当d<x<d时，f′(x)<0，f(x)单调递减.所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d.所以x＝d时，f(x)有最大值.故选C. 5.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时，帐篷的体积最大. 解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2). 帐篷的体积为V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋·(8＋2x－x2)＝(8＋2x－x2)＝(16＋12x－x3)，V′＝(12－3x2).令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(舍去).当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大. 答案：2 6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为________元. 解析：设毛利润为L(p)，由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去). 此时，L(30)＝23 000. 因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0， 所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元. 答案：23 000 7.建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，则总造价的最小值为________元. 解析：设总造价为y元，池底的一边长为x米，池底的面积为4平方米，则池底的另一边长为米，池壁的面积为4平方米，故有y＝4×300＋4×100＝400＋1 200(x>0)，y′＝400，令y′＝0得x＝2，由y′>0得x>2，由y′<0得0<x<2，即y在(0，2)上是单调递减的，在(2，＋∞)上是单调递增的，所以当x＝2时，y取得最小值，且ymin＝2 800. 答案：2 800 8.将一块2 m×6 m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁