5.2 排列（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　排列问题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例，理解排列的概念． 2．能利用基本计数原理推导排列数公式并能解决简单的实际问题． 重点 难点 重点：掌握排列数公式． 难点：应用排列数公式解决实际问题． 第1课时　排列与排列数、排列数公式 1．排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． [微提醒]　两个排列，如果组成排列的元素是相同的，并且元素的排列顺序也相同，那么就称这两个排列是相同的，否则，就称为是不同的． 2．排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A．有关求排列的个数的问题叫作排列问题． (1)排列概念的理解 ①定义中给出的n个元素互不相同，抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的，因而这m个元素也是互不相同的． ②排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序”排列．因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m个元素，再按照顺序排列”． ③定义规定m≤n，当m＝n时，称为全排列． (2)排列问题与分步乘法计数原理问题的区别 排列要从“n个不同的元素中取出m个元素”，即在排列问题中，元素不能重复选取，而在分步乘法计数原理中，元素可以重复选取． 1．判断正误 (1)顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．(　 ) (2)在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．(　 ) (3)用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数，123与321是不相同的排列．(　 ) (4)从圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　 ) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：选C　从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙． 1．排列数公式 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种，所以A＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)].上述这个公式叫作排列数公式． (2)当m＝n时，A＝n(n－1)(n－2)·…·2·1，记作n！，读作：n的阶乘． 2．阶乘的相关结论 (1)规定：A＝1，0！＝1． (2)排列数公式的另一种形式：A＝(m≤n，且m，n∈N＋). (3)A＝nA(m，n∈N＋，且m≤n). (4)A＝mA＋A(m，n∈N＋，且m≤n). (1)排列数公式的特点 ①公式中的m，n应该满足：m，n∈N＋，并且m≤n，当m>n时不成立． ②排列数公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数小1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘． (2)“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数，所以A只表示排列数，而不表示具体的排列． 1. 从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为(　 ) A．5 B．10 C．20 D．60 解析：选C　此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有A＝20种不同的送书方法． 2．A＝________，A＝________． 答案：12　6 —————————————————————————————————— 排列的概念 —————————————————————————————————————— [典例]　判断下列问题是否是排列问题． (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，他们一共通了几次电话？ (3)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (4)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ [解]　(1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好． (2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话． (3)第一