检测评价35 二项式定理的推导（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3 / 3 “四翼”检测评价（三十五） 二项式定理的推导 (一)基础落实 1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　 ) A．9 B．10 C．11 D．8 解析：选C　∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11. 2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为(　 ) A．－210 B．210 C．－120i D．－210i 解析：选A　由通项公式得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210. 3.展开式中常数项为(　 ) A．60 B．－60 C．250 D．－250 解析：选A　展开式中常数项为C()4·＝60. 4.展开式中的第四项是(　 ) A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4 解析：选B　由二项式通项有T4＝Cx6＝84x3. 5．(2x＋)4的展开式中x3的系数是(　 ) A．6 B．12 C．24 D．48 解析：选C　(2x＋)4的二项式通项为Tr＋1＝C(2x)4-r()r＝24-rCx.令4－＝3，解得r＝2.故展开式中x3的系数是4×C＝24. 6．二项式5展开式中的第三项为________． 解析：(2－x)5展开式的通项为Tr＋1＝C25-r(－x)r，r＝0，1，2，3，4，5.令r＝2，则T3＝C23(－x)2＝80x2，即二项式(2－x)5展开式中的第三项为80x2. 答案：80x2 7．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______．(用数字作答) 解析：二项展开式的二项式通项为Tr＋1＝Cx10-rar.当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝. 答案： 8．x(1－x)5的展开式中x2项的系数是________．(用数字作答) 解析：(1－x)5展开式的通项为Tr＋1＝C(－x)r＝C(－1)r·xr. 取r＝1得T2＝C(－1)·x＝－5x.故x(1－x)5的展开式中x2项的系数是－5. 答案：－5 9．用二项式定理展开：. 解：＝＝＝x6－Cx5·＋Cx4－Cx3＋Cx2－Cx·＋ ＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. 10．已知在的展开式中，第4项是常数项． (1)求第6项的二项式系数； (2)若C＝C，求r的值． 解：(1)二项式展开式的通项为Tk＋1＝C(x)n－k＝(－1)kCx，k∈N，k≤n.依题意，当k＝3时，＝0，解得n＝9. 所以二项式的第6项的二项式系数为C＝126. (2)由(1)知，n＝9，则C＝C化为C＝C，显然r－1＝3r－2无整数解． 由组合数的性质得(r－1)＋(3r－2)＝9，解得r＝3，经验证符合题意．所以r＝3. (二)综合应用 1．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(　 ) A．－297 B．－252 C．297 D．207 解析：选D　x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项． ∴其系数为C＋C(－1)＝207. 2．使(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B　由二项式通项得，Tr＋1＝C(3x)n－r·＝C3n－rx.令n－r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小． 3.的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是(　 ) A．第3项 B．第4项 C．第7项 D．第8项 解析：选B　由第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，得C－C＝44，解得n＝11或n＝－8(舍去).由二项式通项Tr＋1＝Cx(11-r)·x-4r＝Cx，令＝0，解得r＝3，故r＋1＝4. 4．若展开式中的常数项为－40，则a＝________． 解析：展开式的第(r＋1)项为 Tr＋1＝C(2x)5-r·＝C25-rx5-2r. 因为的展开式中的常数项为－40，所以axC22x-1＋C23x＝－40. 所以40a＋80＝－40，解得a＝－3. 答案：－3 5．已知在的展开式中，第9项为常数项，求： (1)n的值； (2)展开式中x5的系数； (3)含x的整数次幂的项的个数． 解：(1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1＝C·＝(－1)k·Cx2n－k. 因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10. (2)由(1)知Tk＋1＝(－1)kCx20-k.令20－k＝5，得k＝6.所以x5的系数为(－1)6C＝. (3)要使20－k为整数，只需k为偶数．由于0≤k≤10，k∈N，因此含x的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项． 学科网（北京）股