2.5.1 直线与圆的位置关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5.1　直线与圆的位置关系 明学习目标 知结构体系 课标 要求 能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系． 重点 难点 重点：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系． 难点：运用直线与圆的方程解决简单的问题. 直线与圆的位置关系及判断 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离d＝，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __2__ 1 __0__ 几何法 d＜r d＝r d＞r 代数法 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 1．判断正误 (1)过圆外一点作圆的切线有两条．(　 ) (2)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离．(　 ) (3)直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切．(　 ) (4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(　 ) (5)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　 ) (6)过圆外一点的直线与圆相离．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 2．若直线y＝x＋m与圆x2＋y2－2y＝0相切，则实数m的值为(　 ) A．－1或3 B．1或－3 C．－±2 D．55 解析：选A　x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1，故圆心为(0,1)，半径为1，则＝1，解得m＝3或－1. 3．圆x2＋(y＋1)2＝1与直线x＋2y＋3＝0的位置关系是(　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 解析：选A　圆x2＋(y＋1)2＝1的圆心为(0，－1)，半径为1，所以圆心到直线x＋2y＋3＝0的距离d＝＝<1，所以直线与圆的位置关系为相交． ——————————————————————————————————— 直线与圆的位置关系的判断 ————————————————————————————————————— [典例]　已知圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k分别为何值时，直线与圆的位置关系满足以下条件： ①相交；②相切；③相离． [解]　法一(代数法)：联立 消去y，整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0， 则Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)＝－32k2＋4＝4(1－8k2)． ①当直线与圆相交时，Δ＞0，即－＜k＜； ②当直线与圆相切时，Δ＝0，即k＝±； ③当直线与圆相离时，Δ＜0，即k＜－ 或k＞. 法二(几何法)：圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离d＝＝.由题意知，圆的半径r＝1. ①当直线与圆相交时，d＜r，即＜1, 解得－＜k＜；②当直线与圆相切时，d＝r，即＝1，解得k＝±；③当直线与圆相离时，d＞r，即＞1，解得k＜－或k＞. [方法技巧] 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面： 一是点到直线的距离与半径大小的关系； 二是直线与圆的公共点的个数； 三是两方程组成的方程组解的个数． 因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．　　 [对点训练] 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.判断当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∴Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. (1)当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． ————————————————————————————————— 直线与圆相切问题 ——————————————————————————————————————— [典例]　若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方