2.4.1 圆的标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．4.1　圆的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 重点 难点 重点：圆的标准方程． 难点：圆的标准方程的应用. (一)圆的标准方程 (1)所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径． (2)圆的标准方程的右端r2>0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． (3)圆的标准方程可用来解决：①已知圆心和半径求圆的方程的问题；②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即半径)． 1．判断正误 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　 ) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　 ) (3)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m.(　 ) (4)圆心是原点的圆的方程是x2＋y2＝r2(r>0)．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(　 ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：选A　设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以1＋(2－b)2＝1，b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A. (二)点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 1．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(　 ) A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 解析：选A　∵(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4>2，∴点P在圆外．故选A. 2．已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________． 解析：由题意知 即解得0≤a<1. 答案：[0,1) ————————————————————————————————— 求圆的标准方程 ——————————————————————————————————————— [典例]　求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程． [解]　法一：设点C为圆心，∵点C在直线x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)． 又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|. ∴＝，解得a＝－2. ∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝. ∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)， 由条件知解得 ∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 法三：线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝＝， ∴弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2， ∴线段AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即y＝－2x－4. ∴圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点， 由得 即圆心为(－1，－2)，圆的半径为r＝＝， ∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. [方法技巧] 圆的标准方程的两种求法 (1)几何法：利用图形的平面几何性质，如“弦的中垂线必过圆心”，“两条弦的中垂线的交点必为圆心”，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解——解方程组，求出a，b，r； ④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．　　 [对点训练] 1．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(　 ) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 解析：选A　易知直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得圆的半径为，因为圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝