第三章 函数的概念与性质（11类知识归纳+22类题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念与性质 （知识归纳+题型突破） 1.了解函数的概念、会求函数的定义域、解析式及值域． 2.熟练掌握函数的性质，会利用函数的单调性及奇偶性求解相关问题． 3.理解函数的对称性及周期性，并会函数性质的简单应用． 4.了解并掌握幂函数的相关性质. 5.掌握函数的应用 1. 函数的概念 设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。 2. 区间的概念 定义 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a，b] {x|a＜x＜b} (a，b) {x|a≤x＜b} [a，b) {x|a＜x≤b} (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x＞a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x＜a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 3. 函数的三要素（定义域、值域、对应关系） 在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。 4. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 5. 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 6. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 7. 周期性（差为常数有周期）（拓展） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 8. 对称性（和为常数有对称轴）（拓展） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 9. 周期性对称性综合问题（拓展） ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 10. 奇偶性对称性综合问题（拓展） ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 11. 幂函数 （1） 幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 （2） 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 题型一 图象法表示函数 【例1】（1）（2023秋·广东广州·高一校联考期末）下列四个图象中，不是函数图象的是（    ） A． B． C． D． （2）（2022秋·黑龙江黑河·高一校联考期末）（多选）下列各图中，不可表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练： 1．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考期末）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·广东河源·高一龙川县第一中学统考期末）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二　求函数值 【例2】（1）（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）定义在上的函数满足（），，则等于 A．2 B．3 C．6 D．9 （2）（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知函数，且，那么= . （3）（