18.3 反比例函数（讲+练，十八大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

18.3 反比例函数 1.理解反比例关系，能判断两个变量是否成反比例关系； 2.理解反比例函数，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3.会用描点法画反比例函数的图像，知道反比例函数的图像是双曲线，掌握反比例函数的性质； 4.能根据反比例函数的性质,确定反比例函数中参数的范围； 5.能运用正比例函数、反比例函数的知识以及待定系数法，确定一个涉及正比例关系和反比例关系的解析式. 知识点一 反比例函数的概念 1.成反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例. 2.正比例函数基本概念 (1)概念：形如的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数. (2)定义域：不等于零的一切实数. (3)值域：不等于零的一切实数 注意： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 学生问：为什么？ 老师说：反比例函数解析式中的,成反比例,无论变量,怎样变化,的值始终等于与的乘积,因此人们习惯上称为比例系数.若,则恒成立,为一个常数函数，失去了反比例函数的意义. 即学即练1 下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知一个反比例函数为，求的值． 知识点二 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 即学即练 （2023秋·山东临沂·九年级统考期末）已知，在中，边的长为，边上的高为，的面积为3．小华准备画出此函数图像，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 6 3 2 … (1)根据小华的列表直接写出y关于x的函数关系式______，x的取值范围是______． (2)请你在如图所示的坐标系中帮助他描点并连线，画出此函数图象； (3)如果，是此函数图象上的两个点，且，判断与的大小． 知识点三 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 知识点四 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 即学即练 （2023春·江苏·八年级期末）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 知识点五 反比例函数解析式的确定 1.方法 待定系数法. 2.确定反比例函数解析式的一般步骤 （1）设:设反比例函数解析式为. （2）代:将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程. （3）解:解关于的方程得到的值. （4）写:写出反比例函数解析式. 即学即练 如图，已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．若直线 y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，－2）． （1）求反比例函数与直线y=ax+b的解析式； （2）连接OC，求△AOC的面积； （3）根据所给条件，直接写出不等式的解集 题型一 用反比例函数描述数量关系 例1（2023春·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为 ． 举一反三1（2023·北京·九年级专题练习）下面的三