专题15比例线段（6个知识点4种题型1种中考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

专题15比例线段（6个知识点4种题型1种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.四个数成比例（重点） 知识点2.比例的基本性质（重点） 知识点3.两条线段的比（重点） 知识点4.比例线段（重点） 知识点5.比例中项（重点） 知识点6.黄金分割（难点） 【方法二】 实例探索法 题型1.利用比例的性质求值 题型2.成比例线段的应用 题型3.比例尺的应用 题型4.黄金比的应用 【方法三】 仿真实战法 考法. 比例的基本性质的应用 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 了解比例的内项、外项以及线段的比和成比例线段的概念，会计算两条线段的比，并会判断四条线段是否成比例。 2. 理解比例的基本性质，并能根据比例的基本性质求比值，会根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。 3. 了解比例中项和黄金分割，会求已知线段的比例中项线段，能利用黄金分割进行简单的计算。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.四个数成比例（重点） 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例． 2.a : b＝c : d或称a，d为比例外项，称b，c为比例内项 3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc 【例1】已知，则下列变形不正确的是（　　） A． B．2a＝3b C． D．3a＝2b 【变式】根据4a＝5b，可以组成的比例有（　　） A．a：b＝4：5 B．a：b＝5：4 C．a：4＝b：5 D．a：5＝4：b 知识点2.比例的基本性质（重点） （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1） 利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。 （2） 使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 【例2】已知＝＝． （1）求的值； （2）若2x+3y﹣z＝34，求x+2y﹣z的值． 【变式】设线段、、满足，求、、的值． 知识点3.两条线段的比（重点） 1. 两条线段的比： 注意！！！ （1） 在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。 （2） 两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3） 在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的一种形式。 【例3】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地的实际距离是 ． 【变式】在比例尺是1：200000的地图上，两地的距离是6cm，那么这两地的实际距离为（　　） A．1.2km B．12km C．120km D．1200km 知识点4.比例线段（重点） 对于四条线段、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 注意！！！ 比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。 【例4】下列各组线段中，成比例的一组是（ ） （A），，， （B），，， （C），，， （D），，， 【变式】已知线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝4，那么d的值是（　　） A． B．2 C．3 D．8 知识点5.比例中项（重点） 比例中项：如果三个数满足比例式（或），则叫做的比例中项. 【例5】已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3． （1）求线段a，b，c的长． （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【变式】.已知a＝4，b＝9，则这两个数a，b的比例中项为 　 　． 知识点6.黄金分割（难点） 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 注意！！！ 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 【例6】宽与长之比为的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论. 【变式】如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（　　） A． B．BC2＝AB•AC C． D．≈0.618 【方法二】实例探索法 题型1.利用比例的性质求值 1.若＝＝＝且b﹣2d+3f≠0，则的值为（　　） A． B． C． D．