精品解析：上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷

上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期 高二数学月考试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 复数的虚部是__________. 2. 直线的倾斜角为______． 3. 已知方程表示双曲线，则m取值范围是___________. 4. 正项等比数列中，，则的值是________. 5. 若三边长为2，3，4，则的最大角的余弦值为______． 6. 在线段上运动，已知，则的取值范围是_______. 7. 如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽6m，高0.5m，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为______． 8. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，则该椭圆的离心率为________． 9. 如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值为______. 10. 若平面直角坐标系内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于轴对称，则称点对是函数的图象上的一个“镜像点对”（点对与点对看作同一个“镜像点对”）．已知函数，则的图象上的“镜像点对”有________对. 11. 在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一点C，满足，则r的值为________． 12. 已知轴上的点、、…、满足，射线上的点、、…、满足，，则四边形的面积的取值范围为______ 二、单选题（本大题共有4题，每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑 13. 在等差数列{an}中，a2、a4是方程的两根，则a3的值为（　　） A. 2 B. 3 C. ±2 D. 14. 设分别为中所对边的边长，则直线与直线的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 15. 已知，是圆上两点，是直线上一点，若存在点，，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线l经过两条直线和的交点. （1）若直线l与直线平行，求直线l的方程； （2）若直线l与夹角为，求直线l方程. 18. 在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A，B，与圆交于点C，D. （1）若直线的斜率为3，求的面积； （2）若，求的长； 19. 如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和，上部是圆心为的劣弧，． （1）求图1中拱门最高点到地面的距离； （2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设与地面水平线所成的角为．记拱门上的点到地面的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值． 20. 已知椭圆方程为，其离心率，、分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的点（P不在x轴上），周长为6.过椭圆右焦点的直线l与椭圆交于A、B两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的范围. （3）O为坐标原点，面积为，求直线l的方程. 21. 数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”. （1）设 是首项为2，公差为2的等差数列，证明为“3阶可分拆数列”； （2）设数列的前项和为，若数列为“阶可分拆数列”，求实数的值； （3）设，试探求是否存在使得若数列为“阶可分拆数列”．若存在，请求出所有，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期 高二数学月考试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 复数的虚部是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的相关概念即可得解. 【详解】由复数虚部的概念，易知复数的虚部为. 故答案为：. 2. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由，可得， 所以直线的斜率为， 所以倾斜角为. 故答案为：. 3. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的特征即可列不等式求解. 【详解】方程表示双曲线，则需满足，解得， 故答案为： 4. 正项等比数列中，