第15讲 等差数列-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第15讲 等差数列 【人教A版2019】 ·模块一 等差数列的概念 ·模块二 等差数列的前n项和公式 ·模块三 课后作业 模块一 等差数列的概念 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+. (2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列. (3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+ (,为常数)是公差为 d+d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0. 【考点1 等差数列的基本量的求解】 【例1.1】（2023秋·福建龙岩·高二校考阶段练习）在数列中，，，若，则（    ） A．675 B．674 C．673 D．672 【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，，则公差（    ）． A．2 B． C．3 D． 【变式1.1】（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）已知等差数列满足，，则（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（    ） A． B． C． D． 【考点2 等差数列的通项公式的求解】 【例2.1】（2023春·河南郑州·高二校考期中）数列中，，（为正整数），则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·四川·校联考模拟预测）在数列中，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（    ） A．4043 B．4044 C．4045 D．4046 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则（    ） A． B．2n C． D． 【考点3 利用等差数列的性质解题】 【例3.1】（2023春·海南儋州·高二校考期末）已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足2an=an﹣1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3.1】（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，若，则的值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）非零实数，，，若，，成等差数列，则下列不等式成立的是 （　　） A． B． C． D． 【考点4 等差数列的判定与证明】 【例4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．证明：是等差数列，并求出数的通项公式． 【例4.2】（2023春·高二课时练习）是否存在数列，同时满足下列条件： （1）是等差数列，且公差不为0； （2）也是等差数列． 若存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由． 【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，设数列 (1)求证数列为等差数列； (2)求数列的通项公式； 【变式4.2】（2023秋·江苏苏州·高二校考开学考试）已知数列中，，． (1)证明数列是等差数列，并求通项公式； (2)若对任意，都有成立，求的取值范围． 模块二 等差数列的前n项和公式 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性