第16讲 等比数列-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第16讲 等比数列 【人教A版2019】 ·模块一 等比数列的概念 ·模块二 等比数列的前n项和公式 ·模块三 课后作业 模块一 等比数列的概念 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{}为递增数列； (2)当或时，等比数列{}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 5．等比数列的性质 设{}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则. (2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 . (5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列. (6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【考点1 等比数列的基本量的求解】 【例1.1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）在等比数列中，，，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 【例1.2】（2023春·陕西西安·高二统考期末）设是等比数列，且，，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【变式1.1】（2023秋·浙江宁波·高二校考开学考试）设等比数列的首项为1，公比为，前项和为．令，若也是等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·江苏·高二专题练习）已知等比数列的前项和为，且成等差数列，则数列的公比（    ） A．1或 B．或 C．或2 D．1或 【考点2 等比数列的通项公式的求解】 【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知是数列的前项和，且满足，，则=（ ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知数列是等差数列，且，将去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 等比数列性质的应用】 【例3.1】（2023春·全国·高二期中）等比数列中，，则（    ） A．-4 B．2 C．4 D．4 【例3.2】（2023秋·甘肃金昌·高二校考阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【变式3.1】（2023春·广东广州·高二校考期中）在等比数列中，如果，，那么（    ） A．72 B．81 C．36 D．54 【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，各项互不相等的等比数列满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【考点4 等比数列的判定与证明】 【例4.1】（2023春·江西萍乡·高二统考期中）在数列中，，. (1)证明：为等比数列. (2)设，若是递增数列，求的取值范围. 【例4.2】（2023·全国·高三专题练习）数列的前n项和为，，. (1)设，求证：是等比数列； (2)设，求证：是等比数列. 【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，数列满足（），再从下面的条件①与②中任选一个作为已知条件，证明：是等比数列. ①，（）；②，（）. 【变式4.2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足， (1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由； (2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：. 模块二