2022-2023学年广东省广州市八年级上学期数学期末试题分类汇编：等边三角形相关几何综合

2022-2023学年广东省广州市八年级上数学期末试题分类汇编： 等边三角形相关几何综合 一、解答题 1．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）如图，在等边中，是边上一点（不含端点，），是的外角的平分线上一点，且． (1)尺规作图：在直线的下方，过点作，作的延长线，与相交于点． (2)求证：是等边； (3)求证：． 2．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，是等边三角形．         (1)点P是边上一动点． ①当点P移动到中点时，延长至E，使，连接．求证：； ②在点P运动过程中，以为边在上方作等边，连接，当时，求的取值范围； (2)是的高，记长为a，动点M在上运动，在上方以为边作等边，在点M运动过程中，求点N所经过的路径长． 3．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）在等边中，为射线上一点，是外角的平分线，，于． (1)如图1，求证； (2)如图1，若点在线段上（不与，点重合），求证：； (3)如图2，若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 4．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，已知等腰直角△ABC中，，以为边在点A的另一侧作等边，点F，G分别在线段，上，，且，与相交于点H，延长交于E． (1)求证：是等边三角形； (2)试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)若点M是边上的动点，AB＝a，，，求周长的最小值（结果用含a，b，c的整式表示）． 5．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD=α(0°<α<90°)，点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F．    （1）①依题意补全图形； ②求∠BPC的度数； （2）用等式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明； （3）若△PBC是等腰三角形，直接写出α的度数． 6．（2023秋·广东广州·八年级广东华侨中学校考期末）在边长为2的等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且， (1)当点E为的中点时，如图1，求证：； (2)当点E不是的中点时，如图2，与还相等吗？请说明理由； (3)当点E为的中点时，如图3，若，点M在线段上，为等边三角形，且点M沿着线段从点C运动到点E，点N随之运动，求周长的最小值． 7．（2022秋·广东广州·八年级广州市番禺区香江育才实验学校校考期末）已知在等边三角形的三边上，分别取点，，． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若于点，于，于，且，求的长； 8．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）已知、都是等边三角形． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在内，为的中点，连接、、，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 9．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE． （1）写出一对全等的三角形：△　 　≌△　 　； （2）证明（1）中的结论； （3）求证：点G为BC的中点． 10．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）在等腰中，，，于，点、点分别在射线、上运动，且保证，连接． (1)当点运动到点时，如图，求的长度； (2)当点运动到点时，如图，试判断的形状并证明； (3)当点在射线其它地方运动时，还满足的结论吗？请用图说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年广东省广州市八年级上数学期末试题分类汇编： 等边三角形相关几何综合 一、解答题 1．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）如图，在等边中，是边上一点（不含端点，），是的外角的平分线上一点，且． (1)尺规作图：在直线的下方，过点作，作的延长线，与相交于点． (2)求证：是等边； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）以为圆心，以任意长为半径画弧，交、两边为和，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于，作射线，交的延长线于，则； （2）证明三个角都是，可得结论； （3）作辅助线，构建三角形全等，证明（SAS），得，，证明，根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）如图所示： （2）证明：是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ， 是等边； （3）证明：连接， 和是等边三角形， ， 在和中， ， （SAS）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，作一个角等于已知角的基本作图，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键． 2．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，是等边三角形．         (1)点P是边上一动点． ①当点P移动到中