期末复习导与练 专题6 直线与圆的位置关系word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（浙教版）

专题6　直线与圆的位置关系 [见学生用书《期末复习导与练》P21] 题型一　直线与圆的位置关系 【典例1】 在平面直角坐标系xOy中，经过点(sin 45°，cos 30°)的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是(　A　) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三者都有可能 【解析】 如答图，设直线经过的点为A，连结OA. 　典例1答图 ∵点A的坐标为(sin 45°，cos 30°)， ∴OA＝ ＝. ∵圆的半径为2，OA＜2， ∴点A在圆内， ∴直线与圆相交． 【变式1】 已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为4 cm，如果以等腰三角形顶角的顶点为圆心，5 cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是(　A　) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【解析】 如答图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，过点A作AD⊥BC于点D. 　变式1答图 易知BD＝CD＝BC＝2 cm， ∴AD＝＝4 cm＞5 cm， 即d＞r， ∴该圆与底边相离． 题型二　切线的判定 【典例2】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AB于点E，交AC于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线． (2)若⊙O的半径为2 cm，F是的中点，求阴影部分的面积． 　典例2图 　　　 典例2答图 解：(1)如答图，连结OD. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC是⊙O的切线． (2)∵AD平分∠BAC， ∴＝. ∵F是的中点， ∴＝， ∴＝＝， ∴∠EOD＝60°. 又∵OD＝2， ∴BD＝2， ∴S阴影＝S△BDO－S扇形EOD＝×2×2－＝cm2. 【点悟】 证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明直线到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”． 【变式2­1】 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，直线BF与AD的延长线相交于点F，且∠AFB＝∠ABC. (1)求证：直线BF是⊙O的切线． (2)若CD＝2，OP＝1，求线段BF的长． 变式2­1图 变式2­1答图 解：(1)∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC， ∴∠AFB＝∠ADC，∴CD∥BF. 又∵CD⊥AB，∴AB⊥BF， ∴直线BF是⊙O的切线． (2)如答图，连结OD， ∵CD⊥AB， ∴PD＝CD＝. 又∵OP＝1，∴OD＝2， ∴OA＝OB＝2， ∴AB＝4，AP＝3. ∵CD∥BF， ∴△APD∽△ABF，∴＝， ∴＝，∴BF＝. 【变式2­2】 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，＝，BE⊥DC，交DC的延长线于点E. (1)求证：∠1＝∠BCE. (2)求证：BE是⊙O的切线． (3)若EC＝2，CD＝8，求cos∠DBA. 变式2­2图 变式2­2答图 解：(1)如答图，过点B作BF⊥AC于点F. ∵＝，∴AB＝BD. 在△ABF与△DBE中， ∵ ∴△ABF≌△DBE(AAS)，∴BF＝BE. 又∵BE⊥DC，BF⊥AC，∴∠1＝∠BCE. (2)如答图，连结OB. ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°. ∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE， ∴∠BAC＝∠EBC. ∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA， ∴∠EBC＝∠OBA， ∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°， ∴BE是⊙O的切线． (3)∵AC是直径，∴∠ADC＝90°. 由(1)，得∠1＝∠BCE， ∴∠EBC＝∠FBC. 在△EBC与△FBC中， ∵ ∴△EBC≌△FBC(AAS)， ∴CF＝CE＝2. 由(1)，得AF＝DE＝2＋8＝10， ∴AC＝CF＋AF＝2＋10＝12， ∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝. 题型三　切线的性质 【典例3】 已知BC是⊙O的直径，点A在圆上，过点A作⊙O的切线，交CB的延长线于点D，连结AB，AO. (1)求证：∠OAC＝∠DAB. (2)若AD＝AC，E是⊙O上一点，连结AE，BE，求∠E的度数． 　典例3图 解：(1)∵AD是⊙O的切线，切点为A， ∴DA⊥AO， ∴∠DAO＝90°， ∴∠DAB＋∠BAO＝90°. ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAO＋∠OAC＝90°， ∴∠OAC＝∠DAB. (2)∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠C＝∠AOD. ∵AD＝AC， ∴∠D＝∠C