教材回归专题(10) 切线问题的辅助线word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（浙教版）

教材回归专题(十)　切线问题的辅助线 一　切线的判定 【教材母题1】 (教材P40作业题第4题) 已知：如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC.求证：DC是⊙O的切线． 　教材母题1图 　　　 教材母题1答图 证明：如答图，连结OD. ∵BC⊥AB，∴∠CBO＝90°. ∵AD∥OC， ∴∠COB＝∠A，∠ADO＝∠DOC. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∴∠COB＝∠COD. 又∵OC＝OC，OD＝OB， ∴△CDO≌△CBO(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°， ∴DC是⊙O的切线． 【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，(1)如果已知直线与圆有公共点，则可作经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”． 【变式1】 (连半径，证垂直) 1．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G.求证：FG是⊙O的切线． 第1题图 　　　 第1题答图 证明：如答图，连结OF. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠B，∴OF∥AB. 又∵FG⊥AB，∴FG⊥OF. 又∵OF是半径，∴GF是⊙O的切线． 【变式2】 (作垂直，证半径) 2．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线． 第2题图 　　　 第2题答图 证明：如答图，过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA. ∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． 二　切线的性质 【教材母题2】 (教材P44作业题第5题) 如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CE于点E，交半圆于点F，已知CE＝12，BE＝9.求CO的长． 教材母题2图 教材母题2答图 解：如答图，连结OD，则OD⊥CE. ∵BE⊥CE，∴∠CDO＝∠CEB＝90°. 又∵∠C＝∠C，∴△CDO∽△CEB， ∴＝. 在Rt△CEB中， CB＝＝15， ∴CO＝CB－OB＝CB－OD＝15－OD， ∴＝，∴OD＝， ∴CO＝CB－OD＝15－＝. 【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径是常用的辅助线． 【变式3】 (增加一条垂线) 3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F. (1)求证：OF＝EC. (2)若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长． 第3题图 解：(1)如答图，连结OE. 第3题答图 ∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC. 又∵OF⊥BC，∠C＝90°， ∴四边形OFCE是矩形， ∴OF＝EC. (2)∵BD＝2，∴OE＝OD＝1. 又∵∠A＝30°，OE⊥AC， ∴AO＝2OE＝2， ∴AD＝AO－OD＝1. 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E. (1)求证：△ABD≌△ACD. (2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由． 　第1题图 　　　 第1题答图 解：(1)∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中， ∵ ∴△ABD≌△ACD(HL)． (2)直线DE与⊙O相切．理由如下： 如答图，连结OD. 由△ABD≌△ACD，得BD＝DC. 又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC. 又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. 又∵OD为⊙O的半径， ∴DE与⊙O相切． 2. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E. (1)求证：AC是⊙O的切线． (2)若BD＝，BE＝1，求阴影部分的面积． 　第2题图 　 第2题答图 解：(1)如答图，过点O作OF⊥AC，垂足为F，连结OD，OA. ∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴OA是∠BAC的平分线． ∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB. 又∵OF⊥AC，∴OF＝OD， 即OF是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． (2)在Rt△BOD中，设OD＝OE＝x，则OB＝x＋1. 由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋()2， 解得x＝1，即OD＝OE＝1， ∴OB＝2. ∵sin ∠BOD＝＝， ∴∠BOD＝60°. 易知∠AOB＝90°， ∴∠AOD＝90°－∠BOD＝30°， ∴AD＝OD·t