6.4.3 用频率分布直方图估计总体分布 6.4.4 百分位数（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

6．4.3&6.4.4　用频率分布直方图估计总体分布百分位数 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．理解用频率分布直方图估计总体分布． 2．理解百分位数的统计含义，会求观测数据的P分位数． (一)用频率分布直方图估计总体分布 (1)频率分布直方图能够直观地反映样本的频率分布规律，由于抽样是随机进行的，则随机抽样得到的样本的频率分布直方图是总体分布的近似． (2)把样本在某一范围内的频率作为总体在这一范围内概率的估计值． (3)频率分布直方图中的平均数、中位数、众数的求法 ①平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． ②中位数是使频率分布直方图左边和右边的面积相等的分界线与横轴交点的横坐标． ③众数是最高的矩形的底边中点的横坐标． [基点训练] 　某电子商务公司对10 000名网络购物者2022年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示． (1)直方图中的a＝________； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________． 解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3. (2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3　(2)6 000 (二)百分位数 1．百分位数的含义 百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1,99]上的整数． 一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r%的观测值小于或等于它，且至少有(100－r)%的观测值大于或等于它，当r%＝50%时，Pr即对应中位数． 2．求一组观测数据的百分位数Pr的步骤 设观测数据已经按从小到大的顺序排列，如x1，x2，…，xn. 第一步，计算c＝n×r%； 第二步，如果c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求的Pr是xm，如果c是整数，则所求的Pr是. 在统计学中，P25又称为第一四分位数，P50又称为第二四分位数，P75又称为第三四分位数． [基点训练] 1．“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？ 提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分． 2．某组数据的Pr在此组数据中一定存在吗？为什么？ 提示：不一定．因为按照计算Pr分位数的步骤，第2步计算所得的c＝n×r%如果是整数，则Pr为第c项与第(c＋1)项数据的平均数，若第c项与第(c＋1)项数据不相等，则Pr在此组数据中就不存在． 题型(一)　频率分布直方图的应用 [典例]　某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；(小数点后保留一位有效数字) (2)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则[70,80)分数段抽取的人数是多少？ [解]　(1)由题图可知众数为75， 因为0.1＋0.15＋0.15＋10a＋0.25＋0.05＝1，解得a＝0.030， 设中位数为x， 所以0.1＋0.15＋0.15＋(x－70)×0.03＝0.5，解得x≈73.3， 所以中位数为73.3， 平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. (2)因为总人数有60人，抽取20人， 所以抽取比例为＝， 因为60人中[70,80)分数段人数为60×0.03×10＝18人， 所以[70,80)分数段抽取的人数是18×＝6. [方法技巧] 频率分布直方图的性质 (1)小长方形的面积＝组距×＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1. (3)小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为.　　 [针对训练] 1．某单位组织开展党史知识竞赛活动，现把100名人员的成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图(每组数据均左闭右开)，则下列各选项正确的是(　 ) A．a＝0.005 B．估计这100名人员成绩的中位数为76.6 C．估计这100名人员成绩的平均数为76.2(同一组数据用该区间的中点值作代表) D．若成绩在[80,100)内为优秀，则这100名人员中成绩优秀的有50人 解析：选C　由频率分布直方图可得(0.004＋a＋0.018＋